Um tanque cilíndrico de grande diâmetro está cheio de água numa profundidade . Um furo de seção reta no fundo do tanque permite a drenagem da água. (a) Qual é a velocidade de escoamento da água em litros por segundo? (b) A que distância abaixo do fundo do tanque a seção reta do jorro é igual à metade da área do furo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água até uma profundidade de . Tem um furo no fundo com área de . Precisamos calcular:
a) A velocidade de escoamento da água em litros por segundo.
b) A que distância abaixo do fundo a área da seção reta do jorro é metade da área do furo.
Para isso, vamos usar conceitos de hidrostática e equação de continuidade. Vamos precisar entender como a altura da água influencia a velocidade do escoamento e como a área da seção do jorro varia com a profundidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade de escoamento da água. Para isso, usamos a fórmula de Torricelli, que nos diz que a velocidade do fluido saindo de um furo em um tanque aberto é dada por:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a altura da coluna de água acima do furo ( )

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, precisamos converter a velocidade de escoamento para litros por segundo. Sabemos que .
Primeiro, calculamos o fluxo volumétrico usando a área do furo :
A área precisa estar em metros quadrados:

Passo 5

Calculando :
Convertendo para litros por segundo:

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos saber a que distância abaixo do fundo a seção reta do jorro tem área igual à metade da área do furo.
Sabemos que a área da seção do jorro varia com a distância devido à expansão do jorro. Para isso, usamos a equação de continuidade:
Queremos que .

Passo 7

Substituindo na equação de continuidade:
Cancelando dos dois lados:

Passo 8

Agora, usando a fórmula de Torricelli para :
E sabemos que
Igualando as duas expressões:

Passo 9

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

a) A velocidade de escoamento da água é aproximadamente .
b) A distância abaixo do fundo onde a área da seção reta do jorro é metade da área do furo é .

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