Um tanque cilíndrico de grande diâmetro está cheio de água numa profundidade 2,00 m. Um furo de seção reta 5,0 cm^2 no fundo do tanque permite a drenagem da água. (a) Qual é a velocidade de escoamento da água em litros por segundo? (b) A que distância abaixo do fundo do tanque a seção reta do jorro é igual à metade da área do furo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água até uma profundidade de 2,00 m. Tem um furo no fundo com área de 5,0 cm^2. Precisamos calcular:
a) A velocidade de escoamento da água em litros por segundo.
b) A que distância abaixo do fundo a área da seção reta do jorro é metade da área do furo.
Para isso, vamos usar conceitos de hidrostática e equação de continuidade. Vamos precisar entender como a altura da água influencia a velocidade do escoamento e como a área da seção do jorro varia com a profundidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade de escoamento da água. Para isso, usamos a fórmula de Torricelli, que nos diz que a velocidade v do fluido saindo de um furo em um tanque aberto é dada por:
v = raiz2gh
Onde:
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 m/s^2)
  • h é a altura da coluna de água acima do furo ( 2,00 m)

Passo 3

Vamos calcular v:
v = raiz2 times 9,81 m/s^2 times 2,00 m = raiz39,24 approx 6,26 m/s

Passo 4

Agora, precisamos converter a velocidade de escoamento para litros por segundo. Sabemos que 1 m^3 = 1000 litros.
Primeiro, calculamos o fluxo volumétrico Q usando a área do furo A:
Q = A times v
A área A precisa estar em metros quadrados:
A = 5,0 cm^2 = 5,0 times 10^-4 m^2

Passo 5

Calculando Q:
Q = 5,0 times 10^-4 m^2 times 6,26 m/s = 3,13 times 10^-3 m^3/s
Convertendo para litros por segundo:
Q = 3,13 times 10^-3 times 1000 = 3,13 litros/s

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos saber a que distância y abaixo do fundo a seção reta do jorro tem área igual à metade da área do furo.
Sabemos que a área da seção do jorro varia com a distância devido à expansão do jorro. Para isso, usamos a equação de continuidade:
A(y) times v(y) = A times v
Queremos que A(y) = A2.

Passo 7

Substituindo A(y) = A2 na equação de continuidade:
A2 times v(y) = A times v
Cancelando A dos dois lados:
v(y)2 = v Rightarrow v(y) = 2v

Passo 8

Agora, usando a fórmula de Torricelli para v(y):
v(y) = raiz2g(h + y)
E sabemos que v(y) = 2v = 2raiz2gh
Igualando as duas expressões:
raiz2g(h + y) = 2raiz2gh

Passo 9

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
2g(h + y) = 4 times 2gh Rightarrow 2g(h + y) = 8gh
Dividindo ambos os lados por 2g:
h + y = 4h Rightarrow y = 3h

Resposta

a) A velocidade de escoamento da água é aproximadamente 3,13 litros/s.
b) A distância abaixo do fundo onde a área da seção reta do jorro é metade da área do furo é 6,00 m.

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