Um tanque cilíndrico de grande diâmetro está cheio de água numa profundidade
. Um furo de seção reta
no fundo do tanque permite a drenagem da água. (a) Qual é a velocidade de escoamento da água em litros por segundo? (b) A que distância abaixo do fundo do tanque a seção reta do jorro é igual à metade da área do furo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água até uma profundidade de
. Tem um furo no fundo com área de
. Precisamos calcular:
a) A velocidade de escoamento da água em litros por segundo.
b) A que distância abaixo do fundo a área da seção reta do jorro é metade da área do furo.
Para isso, vamos usar conceitos de hidrostática e equação de continuidade. Vamos precisar entender como a altura da água influencia a velocidade do escoamento e como a área da seção do jorro varia com a profundidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade de escoamento da água. Para isso, usamos a fórmula de Torricelli, que nos diz que a velocidade
do fluido saindo de um furo em um tanque aberto é dada por:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ) -
é a altura da coluna de água acima do furo ( )
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, precisamos converter a velocidade de escoamento para litros por segundo. Sabemos que
.
Primeiro, calculamos o fluxo volumétrico
usando a área do furo
:
A área
precisa estar em metros quadrados:
Passo 5
Calculando
:
Convertendo para litros por segundo:
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos saber a que distância
abaixo do fundo a seção reta do jorro tem área igual à metade da área do furo.
Sabemos que a área da seção do jorro varia com a distância devido à expansão do jorro. Para isso, usamos a equação de continuidade:
Queremos que
.
Passo 7
Substituindo
na equação de continuidade:
Cancelando
dos dois lados:
Passo 8
Agora, usando a fórmula de Torricelli para
:
E sabemos que
Igualando as duas expressões:
Passo 9
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
a) A velocidade de escoamento da água é aproximadamente
.
b) A distância abaixo do fundo onde a área da seção reta do jorro é metade da área do furo é
.
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