21 Uma linha de cargas com densidade linear uniforme está ao longo do eixo desde até , onde . Mostre que a componente do campo elétrico em um ponto no eixo y é dado por , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma linha de cargas com densidade linear uniforme, chamada de , que está estendida ao longo do eixo de até . Queremos descobrir a componente do campo elétrico ( ) em um ponto situado no eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb para campos elétricos gerados por distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um pequeno pedacinho de carga na linha, chamado de diferencial de carga, que vamos denotar por . Como a densidade linear de carga é , sabemos que , onde é um pequeno elemento ao longo do eixo .

Passo 3

Agora, queremos calcular o campo elétrico gerado por esse pequeno elemento de carga no ponto onde estamos observando, que está no eixo . A distância entre o elemento na posição e o ponto no eixo é dada por . A direção do campo elétrico aponta do elemento de carga para o ponto (se for positiva).

Passo 4

A contribuição do campo elétrico desse pequeno elemento no ponto vai ter duas componentes: uma na direção e outra na direção . Porém, como estamos interessados apenas na componente , vamos focar nela. A componente do campo elétrico gerado por é:
Aqui, é a constante eletrostática ( ).

Passo 5

Substituindo na expressão acima, temos:
Agora, para encontrar o campo elétrico total na direção , precisamos integrar essa expressão de até .

Passo 6

Vamos integrar de a :
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a integral de é .

Passo 7

Integrando, temos:

Passo 8

Agora, vamos relacionar isso com os ângulos e . Sabemos que:
Portanto,

Resposta

A componente do campo elétrico no ponto no eixo é:
onde e .

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