21 Uma linha de cargas com densidade linear uniforme lambda está ao longo do eixo x desde x=x1 até x=xy, onde x1. Mostre que a componente x do campo elétrico em um ponto no eixo y é dado por E1=k lambday(cos theta2-cos theta1), onde theta1=tan ^-1(x1 / y), theta2=tan ^-1(x2 / y) e y neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma linha de cargas com densidade linear uniforme, chamada de lambda, que está estendida ao longo do eixo x de x = x1 até x = x2. Queremos descobrir a componente x do campo elétrico ( Ex) em um ponto situado no eixo y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb para campos elétricos gerados por distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um pequeno pedacinho de carga na linha, chamado de diferencial de carga, que vamos denotar por dq. Como a densidade linear de carga é lambda, sabemos que dq = lambda , dx, onde dx é um pequeno elemento ao longo do eixo x.

Passo 3

Agora, queremos calcular o campo elétrico gerado por esse pequeno elemento de carga dq no ponto onde estamos observando, que está no eixo y. A distância entre o elemento dq na posição x e o ponto no eixo y é dada por r = raizx^2 + y^2. A direção do campo elétrico aponta do elemento de carga para o ponto (se lambda for positiva).

Passo 4

A contribuição do campo elétrico desse pequeno elemento dq no ponto vai ter duas componentes: uma na direção x e outra na direção y. Porém, como estamos interessados apenas na componente x, vamos focar nela. A componente x do campo elétrico gerado por dq é:
dEx = k , dq , x(x^2 + y^2)^3/2
Aqui, k é a constante eletrostática ( k = 14piepsilon0).

Passo 5

Substituindo dq = lambda , dx na expressão acima, temos:
dEx = k lambda x(x^2 + y^2)^3/2 , dx
Agora, para encontrar o campo elétrico total na direção x, precisamos integrar essa expressão de x1 até x2.

Passo 6

Vamos integrar dEx de x1 a x2:
Ex = integralx1^x2 k lambda x(x^2 + y^2)^3/2 , dx
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a integral de x(x^2 + y^2)^3/2 é -1raizx^2 + y^2.

Passo 7

Integrando, temos:
Ex = k lambda [ -1raizx^2 + y^2 ]x1^x2 = k lambda ( 1raizx1^2 + y^2 - 1raizx2^2 + y^2 )

Passo 8

Agora, vamos relacionar isso com os ângulos theta1 e theta2. Sabemos que:
cos theta = yraizx^2 + y^2 Rightarrow 1raizx^2 + y^2 = cos thetay
Portanto,
Ex = k lambda ( cos theta1y - cos theta2y ) = k lambday (cos theta1 - cos theta2)

Resposta

A componente x do campo elétrico no ponto no eixo y é:
Ex = k lambday (cos theta2 - cos theta1)
onde theta1 = tan^-1(x1y) e theta2 = tan^-1(x2y).

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