21 Uma linha de cargas com densidade linear uniforme está ao longo do eixo desde até , onde . Mostre que a componente do campo elétrico em um ponto no eixo y é dado por , onde e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma linha de cargas com densidade linear uniforme, chamada de , que está estendida ao longo do eixo de até . Queremos descobrir a componente do campo elétrico () em um ponto situado no eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb para campos elétricos gerados por distribuições contínuas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um pequeno pedacinho de carga na linha, chamado de diferencial de carga, que vamos denotar por . Como a densidade linear de carga é , sabemos que , onde é um pequeno elemento ao longo do eixo .
Passo 3
Agora, queremos calcular o campo elétrico gerado por esse pequeno elemento de carga no ponto onde estamos observando, que está no eixo . A distância entre o elemento na posição e o ponto no eixo é dada por . A direção do campo elétrico aponta do elemento de carga para o ponto (se for positiva).
Passo 4
A contribuição do campo elétrico desse pequeno elemento no ponto vai ter duas componentes: uma na direção e outra na direção . Porém, como estamos interessados apenas na componente , vamos focar nela. A componente do campo elétrico gerado por é:
Aqui, é a constante eletrostática ().
Passo 5
Substituindo na expressão acima, temos:
Agora, para encontrar o campo elétrico total na direção , precisamos integrar essa expressão de até .
Passo 6
Vamos integrar de a :
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a integral de é .
Passo 7
Integrando, temos:
Passo 8
Agora, vamos relacionar isso com os ângulos e . Sabemos que:
Portanto,
Resposta
A componente do campo elétrico no ponto no eixo é: