Um tanque rígido com 40 m^3 contém ar inicialmente a 23^circ C e 660 kPa . O ar é resfriado por um refrigerador de Carnot que rejeita calor num reservatório com temperatura constante de 23^circ C. O refrigerador opera até que a temperatura do ar atinja -13^circ C.
Para responder os próximos itens, considere que para que haja transferência de calor entre o ar no tanque e o local de baixa temperatura do ciclo Carnot, é necessária uma diferença de temperatura de 14^circ C entre o ar do tanque e esse local.
Qual o módulo do trabalho (em kJ) consumido pelo refrigerador para variar a temperatura do ar de 23^circ C até -13^circ C ? Assuma que o calor específico do ar é constante e igual aquele a 25^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício tá pedindo! Temos um tanque rígido de 40 m³ cheio de ar a 23°C e 660 kPa. Queremos esfriar esse ar até -13°C usando um refrigerador de Carnot. Pra isso, temos que entender algumas coisas de termodinâmica, como ciclo de Carnot, capacidade calorífica e trabalho realizado pelo refrigerador. Vamos precisar usar a equação dos gases ideais pra achar a massa do ar, a capacidade calorífica específica, e a fórmula do COP (Coeficiente de Performance) do refrigerador de Carnot.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de ar no tanque usando a equação dos gases ideais: $ PV = mRT $.
  • P é a pressão: 660 kPa = 660,000 Pa
  • V é o volume: 40 m³
  • R é a constante específica do ar: 0,287 kJ/kg·K
  • T é a temperatura inicial: 23°C = 296 K
PV = mRT
m = PVRT = 660,000 times 400,287 times 296
m approx 26,400,00085.0

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade de calor que precisa ser removida do ar para abaixar a temperatura de 23°C para -13°C. Usamos a fórmula:
Q = m cdot cp cdot De
Onde:
  • $ c_p $ é o calor específico a pressão constante. Assumindo $ c_p = 1.005 $ kJ/kg·K para o ar.
cp
cp = 1.005
De
Q = 310,588 times 1.005 times (-36)
Q approx 310,588 times 1.005 times 36

Passo 4

Vamos agora calcular o COP do refrigerador de Carnot. A fórmula é:
COP = TfrioTquente - Tfrio
Precisamos converter as temperaturas para Kelvin e considerar que a diferença de temperatura entre o ar e o local de baixa temperatura é de 14°C. Assim:
  • Temperatura quente $ T_H $ = 23°C = 296 K
  • Temperatura fria $ T_C $ = $ T_{ar} - 14°C $
Como a temperatura do ar varia de 23°C para -13°C, $ T_C $ varia de 9°C (282 K) para -27°C (246 K). Porém, para simplificar, vamos usar a temperatura média:
TH

Passo 5

Com o COP conhecido, podemos calcular o trabalho necessário usando:
W = QCOP
W = 11,222,2908.25
W approx 1,360,292 kJ

Resposta

O trabalho consumido pelo refrigerador é aproximadamente 1.360.292 kJ.

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