Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por . . Calcule para os três vetores seguintes: com módulo e ângulo (medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo para o eixo ), com módulo e ângulo e com módulo e orientado ao longo do eixo . Os vetores e estão sobre o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o produto escalar entre o produto vetorial de dois vetores, e , com um terceiro vetor, . A matéria envolvida aqui são os produtos vetorial e escalar de vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial e depois o produto escalar, além de usar as componentes dos vetores no plano e no eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes dos vetores , e . Como e estão no plano , suas componentes no eixo são zero. Já está ao longo do eixo .
Vamos usar as seguintes fórmulas para obter as componentes:
para e , e
pois está no eixo .
Passo 3
Vamos calcular as componentes de e :
Para :
Para :
Vamos calcular os valores numéricos:
Então:
E é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula para o produto vetorial de dois vetores em 3D é:
Como , simplificamos:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre e . A fórmula para o produto escalar de dois vetores é:
Como está apenas na direção e também está apenas na direção , simplificamos para: