Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por (A times B). C. Calcule (A times B) cdot C para os três vetores seguintes: A com módulo A=5,0 e ângulo thetaA=26,0^circ (medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo +x para o eixo +y ), B com módulo B=4,0 e ângulo thetaB=63,0^circ e C com módulo C=6,0 e orientado ao longo do eixo +z. Os vetores A e B estão sobre o plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o produto escalar entre o produto vetorial de dois vetores, A e B, com um terceiro vetor, C. A matéria envolvida aqui são os produtos vetorial e escalar de vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial e depois o produto escalar, além de usar as componentes dos vetores no plano xy e no eixo z.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes dos vetores A, B e C. Como A e B estão no plano xy, suas componentes no eixo z são zero. Já C está ao longo do eixo z.
Vamos usar as seguintes fórmulas para obter as componentes:
V = Vx Vy Vz = V cos(theta) V sin(theta) 0
para A e B, e
C = 0 0 C
pois está no eixo z.

Passo 3

Vamos calcular as componentes de A e B:
Para A:
Ax = 5,0 cos(26,0^circ) Ay = 5,0 sin(26,0^circ) Az = 0
Para B:
Bx = 4,0 cos(63,0^circ) By = 4,0 sin(63,0^circ) Bz = 0
Vamos calcular os valores numéricos:
cos(26,0^circ) approx 0,8988 sin(26,0^circ) approx 0,4384 cos(63,0^circ) approx 0,45399 sin(63,0^circ) approx 0,8910
Então:
A approx 5,0 times 0,8988 5,0 times 0,4384 0 = 4,494 2,192 0
B approx 4,0 times 0,45399 4,0 times 0,8910 0 = 1,816 3,564 0
E C é:
C = 0 0 6,0

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial A times B. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores em 3D é:
A times B = i & j & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz
Como Az = Bz = 0, simplificamos:
A times B = (Ax By - Ay Bx) k
Substituindo os valores:
Ax By = 4,494 times 3,564 approx 16,00 Ay Bx = 2,192 times 1,816 approx 3,979
Então:
A times B approx (16,00 - 3,979) k approx 12,021 k

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre A times B e C. A fórmula para o produto escalar de dois vetores é:
(A times B) cdot C = (A times B)x Cx + (A times B)y Cy + (A times B)z Cz
Como A times B está apenas na direção z e C também está apenas na direção z, simplificamos para:
(A times B) cdot C = (A times B)z times Cz
Substituindo os valores:
12,021 times 6,0 approx 72,126

Resposta

O valor de (A times B) cdot C é aproximadamente 72,13 unidades.

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