Numa tarde tranquila, um engenheiro de áudio decide testar o desempenho do novo alto-falante que projetou. Para isso, ele usa uma frequência pura de 200pi H z e observa o movimento do diafragma. Através de seus instrumentos, ele nota que o deslocamento máximo do diafragma é de 2 times 10^-3 m com relação à sua posição de equilíbrio. Considerando o movimento do diafragma como um MHS, responda:
f) Relacione as posições do diafragma onde a velocidade e/ou a aceleração são máximas com as posições de energia cinética máxima e energia cinética mínima. (0,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um diafragma de alto-falante que está fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente sabe que em um MHS, a posição, velocidade e aceleração do objeto oscilante variam de forma periódica. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como a velocidade e a aceleração se comportam no MHS e como elas estão relacionadas à energia cinética do diafragma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no MHS a posição do diafragma varia com o tempo de acordo com uma função senoidal, como v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t) , onde a(t) = dvdt = -A omega^2 cos(omega t) é a amplitude e é a frequência angular. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então:
Já a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 3

Vamos analisar onde a velocidade é máxima. Olhando para , percebemos que o valor máximo da função seno é 1. Então, a velocidade máxima ocorre quando , ou seja, nas posições onde ou , que correspondem à passagem pela posição de equilíbrio ( ).

Passo 4

Agora, vamos ver onde a aceleração é máxima. A função aceleração é . O valor máximo da função cosseno é 1, então a aceleração máxima ocorre quando , isto é, nas posições extremas ( ).

Passo 5

Vamos relacionar isso com a energia cinética. A energia cinética Ek = 12 m v^2 é dada por:
Onde é a massa efetiva do diafragma. Quando a velocidade é máxima (na posição de equilíbrio), a energia cinética também é máxima. Por outro lado, quando a velocidade é zero (nas posições extremas), a energia cinética é mínima.

Passo 6

Resumindo:
  • Nas posições de equilíbrio ( ):
    • A velocidade é máxima.
    • Portanto, a energia cinética é máxima.
    • A aceleração é zero nesse ponto.
  • Nas posições extremas ( ):
    • A aceleração é máxima.
    • A velocidade é zero.
    • Portanto, a energia cinética é mínima.

Resposta

As posições de equilíbrio do diafragma ( ) correspondem aos pontos onde a velocidade é máxima e, consequentemente, a energia cinética também é máxima. Já nas posições extremas ( ), a aceleração atinge seu valor máximo, mas a velocidade é zero, resultando na energia cinética mínima.

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