Em um pesadelo, João está correndo para salvar a própria pele. Um carro do gás persegue-o tocando a sua famosa musiquinha inquietante. O carro se move em direção a João com velocidade vC. Enquanto isso, João, pulsando adrenalina, corre com velocidade vJ. João e o carro se movem em uma mesma reta. Assuma que a velocidade do som (vS) no ar é constante.
b) Considere que o carro emite uma frequência pura de A H z. Qual velocidade relativa entre carro e João fará com que João perceba o som com i. o dobro da frequência ii. a metade da frequência? Dica: como foi perguntada a velocidade relativa, considere João com velocidade igual a zero. (1,5)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um carro que emite um som com frequência enquanto se move em direção a João, que está correndo. Queremos descobrir qual a velocidade relativa entre o carro e o João que faz com que João perceba o som com o dobro da frequência e com a metade da frequência. Para resolver isso, vamos usar o Efeito Doppler, que explica como a frequência percebida de uma onda sonora muda quando a fonte está se movendo em relação ao observador.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Efeito Doppler para uma fonte sonora que se aproxima de um observador estacionário:
f' = f times vv - vC
Onde:
  • é a frequência percebida por João.
  • é a frequência emitida pelo carro ( ).
  • é a velocidade do som no ar.
  • é a velocidade do carro em direção a João.
Nos casos da questão, queremos que e .

Passo 3

Vamos resolver para o primeiro caso onde João percebe o dobro da frequência ( 2f = f times vv - vC ).
Substituindo na fórmula:
2 = vv - vC
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2(v - vC) = v :
2v - 2vC = v
Agora, vamos resolver para 2v - v = 2vC v = 2vC vC = v2 :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o 2:
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos resolver para o segundo caso onde João percebe a metade da frequência ( f2 = f times vv - vC ).
Substituindo na fórmula:
12 = vv - vC
Simplificando dividindo ambos os lados por 12(v - vC) = v :
v2 - vC2 = v
Resolvendo para v2 - v = vC2 -v2 = vC2 vC = -v :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o :
Isolando :
O sinal negativo indica que o carro está se afastando de João.

Resposta

i. A velocidade relativa que faz João perceber o som com o dobro da frequência é .
ii. A velocidade relativa que faz João perceber o som com a metade da frequência é (ou seja, o carro está se afastando a velocidade da própria velocidade do som).

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