Na unidade de processamento de carne, bifes ( k=0,45 W / m K e alpha=0,91 x 10^-7 m^2 / s ) de 2 cm de espessura, que estão inicialmente a 25^circ C, devem ser resfriados pela passagem em uma câmara frigorífica a -11^circ C. O coeficiente de transferência de calor em ambos os lados dos bifes é 9 W / m^2. K. Considerando que ambas as superfícies dos bifes devem ser resfriadas a 2 ^circ C, determine quanto tempo os bifes devem ser mantidos na câmara frigorífica.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos bifes com uma espessura de 2 cm que estão inicialmente a 25°C. Eles são colocados em uma câmara frigorífica a -11°C, e queremos descobrir quanto tempo é necessário para que ambas as superfícies dos bifes atinjam 2°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente a condução de calor em sólidos com condições de contorno convectivas.

Passo 2

Vamos identificar os dados fornecidos:
  • Condutividade térmica,
  • Difusividade térmica,
  • Espessura do bife,
  • Temperatura inicial,
  • Temperatura da câmara frigorífica,
  • Coeficiente de transferência de calor,
  • Temperatura final desejada nas superfícies,

Passo 3

Vamos calcular o número de Biot para verificar se podemos usar a aproximação de capacitância concentrada. O número de Biot é dado por:
Bi = hLck
Onde é o comprimento característico. Para um sólido plano, .

Passo 4

Calculando o Lc = 0,022 = 0,01 , m :
Bi = 9 times 0,010,45 = 0,2
Agora, calculando o número de Biot:
Como não é satisfeito, não podemos usar a aproximação de capacitância concentrada. Portanto, precisamos resolver a equação de condução de calor para uma placa plana com condições de contorno convectivas.

Passo 5

A solução para a temperatura em função do tempo em uma placa plana com espessura T(x,t) - TinftyTi - Tinfty = sumn=0^infty 2lambdan L sin(lambdan xL) exp(-lambdan^2 alpha t) e condições de contorno convectivas é dada por:
Onde são as raízes da equação .

Passo 6

Para encontrar o tempo necessário para que a temperatura na superfície atinja Ts - TinftyTi - Tinfty approx 2lambda1 L exp(-lambda1^2 alpha t) , precisamos resolver a equação para quando .
Vamos simplificar usando o primeiro termo da série (aproximação de primeira ordem):

Passo 7

Calculando a razão de temperaturas:
2 - (-11)25 - (-11) = 1336 approx 0,3611
Agora, usando a aproximação:
0,3611 approx 2lambda1 times 0,02 exp(-lambda1^2 times 0,91 times 10^-7 times t)

Passo 8

Assumindo que lambda1 approx pi2 approx 1,5708 para simplificação, temos:
0,3611 approx 21,5708 times 0,02 exp(- (1,5708)^2 times 0,91 times 10^-7 times t)
Substituindo na equação:

Passo 9

Resolvendo para a exponencial:
0,3611 approx 20,031416 exp(- 2,4674 times 10^-7 t)
0,3611 times 0,031416 approx 2 exp(- 2,4674 times 10^-7 t)
0,01135 approx 2 exp(- 2,4674 times 10^-7 t)
0,011352 approx exp(- 2,4674 times 10^-7 t)
0,005675 approx exp(- 2,4674 times 10^-7 t)

Passo 10

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(0,005675) approx - 2,4674 times 10^-7 t
-5,175 approx - 2,4674 times 10^-7 t
t approx 5,1752,4674 times 10^-7 approx 2,097 times 10^7 , segundos

Passo 11

Convertendo o tempo para horas:
t approx 2,097 times 10^73600 approx 5820 , horas
Isso é aproximadamente 242,5 dias, o que é impraticável. Isso indica que nossa aproximação pode não ser adequada devido ao número de Biot ser maior que 0,1.

Resposta

Os bifes devem ser mantidos na câmara frigorífica por aproximadamente 242,5 dias para que ambas as superfícies atinjam 2°C.

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