A velocidade angular de um sólido rígido em rotação é um vetor cuja magnitude é a taxa de deslocamento angular (radianos por segundo, rad/s) e cuja direção é aquela na qual um parafuso com rosca direita avançaria se fosse girado na mesma direção. O vetor posição de um ponto é o vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto. Mostre que a velocidade de um ponto qualquer em um sólido em rotação é . Considere que a origem do sistema de coordenadas está localizada no eixo de rotação do corpo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido rígido que está girando, e queremos descobrir como calcular a velocidade de um ponto qualquer desse sólido durante a rotação. Para isso, vamos usar os conceitos de velocidade angular, vetor posição e produto vetorial. Nosso objetivo é mostrar que a velocidade do ponto é dada por .

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é velocidade angular. A velocidade angular, representada por , indica quão rápido o sólido está girando e a direção desse giro. Imagine que é como a velocidade de rotação de uma roda: quanto mais rápido ela gira, maior é a sua velocidade angular. A direção da segue a regra da mão direita, ou seja, se você enroscar a mão direita na direção da rotação, o polegar aponta na direção de .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o vetor posição, representado por . Esse vetor vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto específico no sólido que queremos analisar. Basicamente, ele nos mostra onde o ponto está localizado em relação ao eixo de rotação.

Passo 4

Para encontrar a velocidade do ponto ( ), precisamos relacionar a velocidade angular ( ) com a posição do ponto ( ). Isso é feito através do produto vetorial entre esses dois vetores.

Passo 5

O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular tanto a quanto a . A magnitude desse novo vetor é igual ao produto das magnitudes de e multiplicado pelo seno do ângulo entre eles. Em termos simples, isso significa que a velocidade do ponto depende de quão rápido o sólido está girando e da posição do ponto em relação ao eixo de rotação.

Passo 6

No contexto da rotação, isso se traduz em dizer que a velocidade do ponto está na direção tangencial à trajetória circular que o ponto descreve durante a rotação. Além disso, sua magnitude (ou seja, quão rápido o ponto está se movendo) depende tanto da velocidade angular do sólido quanto da distância do ponto ao eixo de rotação.

Passo 7

Portanto, juntando todas essas informações, concluímos que a velocidade de qualquer ponto no sólido em rotação é obtida pelo produto vetorial da velocidade angular pela posição do ponto.

Resposta

A velocidade do ponto é .

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