Tem-se que a análise do pH do solo determina o grau de ionização da água no solo. Este, por sua vez, afeta o comportamento das partículas carregadas e, consequentemente, a capacidade de troca catiônica de um solo. Fassbender relacionou as capacidades de fixação de P pelo solo com seu pH, por meio da equação y = 198,15 - 4,91 x^2. Calcule para quais valores de pH a capacidade de fixação de P no solo é nula, mostre o domínio, a Imagem e o ponto de máximo da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como o pH do solo afeta a capacidade de fixação de fósforo ( P) pelo solo, usando a equação . Nosso objetivo é encontrar os valores de pH que fazem essa capacidade ser zero, além de determinar o domínio, a imagem e o ponto de máximo dessa função.

Passo 2

Primeiro, para descobrir quando a capacidade de fixação de P é nula, precisamos resolver a equação . Então, colocamos a equação igual a zero:

Passo 3

Vamos isolar x^2:

Passo 4

Agora, dividimos ambos os lados por 4,91 para encontrar x^2:

Passo 5

Para encontrar x, que representa o pH, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, o pH que faz a capacidade de fixação de P ser zero é aproximadamente 6,35.

Passo 6

Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x para os quais a função está definida. Como estamos falando de pH, que é uma medida geralmente entre 0 e 14, o domínio será:

Passo 7

A imagem da função é o conjunto de todos os valores possíveis de y. Observando a equação , sabemos que é uma parábola voltada para baixo (porque o coeficiente de x^2 é negativo). O ponto mais alto dessa parábola será o valor máximo de y.

Passo 8

Para encontrar o ponto de máximo, usamos a fórmula do vértice da parábola:
No caso da nossa função, e (já que não há termo linear). Então:

Passo 9

Substituímos xv na função para encontrar yv:
Portanto, o ponto de máximo é .

Resposta

A capacidade de fixação de P no solo é nula quando o pH é aproximadamente . O domínio da função é , a imagem é , e o ponto de máximo da função é .

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