Se X tem distribuição de Cauchy com parâmetros mu, sigma^2, mostre que E[X] não existe.
Definição 1 Uma var. aleatória com a seguinte f.d.p tem distribuição de Cauchy com parâmetros mu, sigma se sua f.d.p. é dada por:
f(x)=sigmapi 1sigma^2+(x-mu)^2, mu, x in R, sigma>0

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrar que a esperança matemática E[X] de uma variável aleatória X com distribuição de Cauchy não existe. Estamos falando de estatística, especificamente de distribuição de probabilidade contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a esperança de uma variável e ver por que, no caso da distribuição de Cauchy, esse cálculo não dá certo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a esperança matemática. A esperança E[X] de uma variável aleatória contínua X é definida pela integral:
E[X] = integral-infty^+infty x f(x) , dx
onde f(x) é a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X.

Passo 3

No nosso caso, a f.d.p. da distribuição de Cauchy é dada por:
f(x) = sigmapi cdot 1sigma^2 + (x - mu)^2
Portanto, a esperança seria:
E[X] = integral-infty^+infty x cdot sigmapi cdot 1sigma^2 + (x - mu)^2 , dx

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar sigmapi para fora da integral:
E[X] = sigmapi integral-infty^+infty xsigma^2 + (x - mu)^2 , dx
Agora, para facilitar a integração, fazemos uma mudança de variável. Vamos definir y = x - mu, o que implica que x = y + mu e dx = dy. Substituindo:
E[X] = sigmapi integral-infty^+infty y + musigma^2 + y^2 , dy
Podemos separar a integral em duas partes:
E[X] = sigmapi ( integral-infty^+infty ysigma^2 + y^2 , dy + mu integral-infty^+infty 1sigma^2 + y^2 , dy )
A primeira integral:
integral-infty^+infty ysigma^2 + y^2 , dy
Observamos que a função ysigma^2 + y^2 é ímpar, ou seja, f(-y) = -f(y). Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, a integral resulta em zero:
integral-infty^+infty ysigma^2 + y^2 , dy = 0
A segunda integral:
integral-infty^+infty 1sigma^2 + y^2 , dy = pisigma
Esse resultado é conhecido e pode ser encontrado utilizando integrais padrão de funções racionais.

Passo 5

Substituindo os resultados das integrais na expressão de E[X]:
E[X] = sigmapi ( 0 + mu cdot pisigma ) = sigmapi cdot mu cdot pisigma = mu
Parece que a esperança seria mu, mas na verdade há um problema aqui. A distribuição de Cauchy possui caudas que decaem de forma lenta, o que faz com que a integral original para a esperança não convirja de fato. Embora fizemos uma separação das integrais, na realidade, a integral de x f(x) não converge absolutamente, o que significa que a esperança E[X] não está bem definida.

Resposta

A esperança matemática E[X] da distribuição de Cauchy não existe.

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