Se
tem distribuição de Cauchy com parâmetros
, mostre que
não existe.
Definição 1 Uma var. aleatória com a seguinte f.d.p tem distribuição de Cauchy com parâmetros
se sua f.d.p. é dada por:
Definição 1 Uma var. aleatória com a seguinte f.d.p tem distribuição de Cauchy com parâmetros
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para mostrar que a esperança matemática
de uma variável aleatória
com distribuição de Cauchy não existe. Estamos falando de estatística, especificamente de distribuição de probabilidade contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a esperança de uma variável e ver por que, no caso da distribuição de Cauchy, esse cálculo não dá certo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a esperança matemática. A esperança
de uma variável aleatória contínua
é definida pela integral:
onde
é a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de
.
Passo 3
No nosso caso, a f.d.p. da distribuição de Cauchy é dada por:
Portanto, a esperança seria:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar
para fora da integral:
Agora, para facilitar a integração, fazemos uma mudança de variável. Vamos definir
, o que implica que
e
. Substituindo:
Podemos separar a integral em duas partes:
A primeira integral:
Observamos que a função
é ímpar, ou seja,
. Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, a integral resulta em zero:
A segunda integral:
Esse resultado é conhecido e pode ser encontrado utilizando integrais padrão de funções racionais.
Passo 5
Substituindo os resultados das integrais na expressão de
:
Parece que a esperança seria
, mas na verdade há um problema aqui. A distribuição de Cauchy possui caudas que decaem de forma lenta, o que faz com que a integral original para a esperança não convirja de fato. Embora fizemos uma separação das integrais, na realidade, a integral de
não converge absolutamente, o que significa que a esperança
não está bem definida.
Resposta
A esperança matemática
da distribuição de Cauchy não existe.