Se a v.a. X tem distribuição Weibull com parâmetros alpha e beta.
Mostre que:
i) E[X]=1alpha^1 / beta Gamma(1+1beta)
ii) E[X^2]=1alpha^2 / beta Gamma(1+2beta) e sigma^2(X)=1alpha^2 / beta[Gamma(1+2beta)-Gamma^2(1+1beta)]
iii) Determine os valores de E[X] e sigma^2(X) para alpha=1 e beta=12, 1,2.
Onde a função Gamma Gamma é dada por: Gamma(gamma)=integral0^infty t^gamma-1 e^-t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre a distribuição Weibull, que é uma distribuição usada para modelar tempos de vida ou falhas de produtos, por exemplo. Os parâmetros dessa distribuição são alpha e beta. Nosso objetivo é mostrar algumas propriedades dessa distribuição, como a esperança matemática E[X], a esperança de X^2, e a variância sigma^2(X). Além disso, vamos calcular esses valores para casos específicos de alpha e beta. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar a função Gamma, que é uma generalização do fatorial para números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) da distribuição Weibull é dada por:
fX(x) = alpha beta x^beta - 1 e^-(alpha x)^beta, x >= 0
A função Gamma que vamos usar é definida por:
Gamma(gamma) = integral0^infty t^gamma - 1 e^-t dt

Passo 3

Para encontrar a esperança matemática E[X], usamos a definição de esperança para uma variável contínua:
E[X] = integral0^infty x fX(x) dx
Substituindo a f.d.p. da Weibull:
E[X] = integral0^infty x cdot alpha beta x^beta - 1 e^-(alpha x)^beta dx = alpha beta integral0^infty x^beta e^-(alpha x)^beta dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja t = (alpha x)^beta, então:
Mas precisamos expressar dt = beta alpha^beta x^beta - 1 dx Rightarrow dx = dtbeta alpha^beta x^beta - 1 em termos de x. Da substituição original:
t
Substituindo tudo de volta na integral:
x = (talpha^beta)^1/beta
Simplificando:
E[X] = alpha beta cdot (1alpha^beta)^1beta + 1 integral0^infty t^1beta e^-t cdot dtbeta

Passo 5

Agora, para encontrar E[X^2], seguimos um processo parecido:
E[X^2] = integral0^infty x^2 fX(x) dx = alpha beta integral0^infty x^beta + 1 e^-(alpha x)^beta dx
Usamos a mesma substituição t = (alpha x)^beta e, após simplificar, obtemos:
E[X^2] = 1alpha^2/beta Gamma(1 + 2beta)

Passo 6

A variância sigma^2(X) é dada por:
sigma^2(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Substituindo os valores que encontramos:
sigma^2(X) = 1alpha^2/beta Gamma(1 + 2beta) - (1alpha^1/beta Gamma(1 + 1beta))^2
Fatorando 1alpha^2/beta:
sigma^2(X) = 1alpha^2/beta [ Gamma(1 + 2beta) - Gamma^2(1 + 1beta) ]

Passo 7

Agora, vamos calcular E[X] e sigma^2(X) para os casos específicos de alpha = 1 e beta = 12, 1, 2.
Para alpha = 1, as fórmulas simplificam para:
E[X] = Gamma(1 + 1beta) sigma^2(X) = Gamma(1 + 2beta) - Gamma^2(1 + 1beta)
Vamos calcular cada caso:
a) beta = 12
  • E[X] = Gamma(1 + 2) = Gamma(3) = 2! = 2
  • sigma^2(X) = Gamma(1 + 4) - (Gamma(3))^2 = Gamma(5) - 4 = 24 - 4 = 20
b) beta = 1
  • E[X] = Gamma(2) = 1! = 1
  • sigma^2(X) = Gamma(3) - (Gamma(2))^2 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1
c) beta = 2
  • E[X] = Gamma(1 + 12) = Gamma(32) = raizpi2
  • sigma^2(X) = Gamma(1 + 1) - (Gamma(32))^2 = Gamma(2) - (raizpi2)^2 = 1 - pi4

Resposta

Para alpha = 1:
  • Quando beta = 12:
    • E[X] = 2
    • sigma^2(X) = 20
  • Quando beta = 1:
    • E[X] = 1
    • sigma^2(X) = 1
  • Quando beta = 2:
    • E[X] = dfracraizpi2
    • sigma^2(X) = 1 - dfracpi4

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