Se a v.a.
tem distribuição Weibull com parâmetros
e
.
Mostre que:
i)
ii)
e
iii) Determine os valores de
e
para
e
.
Onde a função Gamma
é dada por:
Mostre que:
i)
ii)
iii) Determine os valores de
Onde a função Gamma
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre a distribuição Weibull, que é uma distribuição usada para modelar tempos de vida ou falhas de produtos, por exemplo. Os parâmetros dessa distribuição são
e
. Nosso objetivo é mostrar algumas propriedades dessa distribuição, como a esperança matemática
, a esperança de
, e a variância
. Além disso, vamos calcular esses valores para casos específicos de
e
. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar a função Gamma, que é uma generalização do fatorial para números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) da distribuição Weibull é dada por:
A função Gamma que vamos usar é definida por:
Passo 3
Para encontrar a esperança matemática
, usamos a definição de esperança para uma variável contínua:
Substituindo a f.d.p. da Weibull:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Da substituição original:
Substituindo tudo de volta na integral:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar
, seguimos um processo parecido:
Usamos a mesma substituição
e, após simplificar, obtemos:
Passo 6
A variância
é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
e
para os casos específicos de
e
.
Para
, as fórmulas simplificam para:
Vamos calcular cada caso:
a)
b)
c)
Resposta
Para
:
-
Quando
: -
-
Quando
: -
-
Quando
: -