a) Teste a hipótese
contra
, com
. Encontre o valor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar uma hipótese sobre uma proporção. Especificamente, temos a hipótese nula
contra a hipótese alternativa
. Além disso, o nível de significância é
. O que precisamos fazer é encontrar o valor P desse teste. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a testes de hipóteses para proporções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada hipótese representa. A hipótese nula
está dizendo que a proporção verdadeira é 3%. Já a hipótese alternativa
sugere que a proporção é menor que 3%. Nosso objetivo é verificar se há evidências suficientes nos dados para rejeitar a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.
Passo 3
Para calcular o valor P, precisamos de um teste estatístico. Como estamos lidando com proporções, usamos o teste z para proporções. A fórmula para o cálculo do z é:
Onde:
-
é a proporção observada na amostra, -
é a proporção assumida na hipótese nula (0,03), -
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Depois de calcular o valor de z, o valor P é a probabilidade de obtermos um resultado tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Para um teste unilateral à esquerda, o valor P é dado por:
Isso significa que vamos procurar na tabela da distribuição normal padrão a probabilidade acumulada até o valor de z calculado.
Passo 5
Agora, comparamos o valor P com o nível de significância
. Se o valor P for menor ou igual a 0,05, rejeitamos a hipótese nula. Caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
O valor P é a probabilidade acumulada até o valor z calculado no teste. Se, por exemplo, após calcular z, obtivermos
, então:
Como
, rejeitamos a hipótese nula
a favor de
com um nível de significância de 5%.