a) Teste a hipótese contra , com . Encontre o valor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar uma hipótese sobre uma proporção. Especificamente, temos a hipótese nula contra a hipótese alternativa . Além disso, o nível de significância é . O que precisamos fazer é encontrar o valor P desse teste. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a testes de hipóteses para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada hipótese representa. A hipótese nula está dizendo que a proporção verdadeira é 3%. Já a hipótese alternativa sugere que a proporção é menor que 3%. Nosso objetivo é verificar se há evidências suficientes nos dados para rejeitar a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.

Passo 3

Para calcular o valor P, precisamos de um teste estatístico. Como estamos lidando com proporções, usamos o teste z para proporções. A fórmula para o cálculo do z é:
Onde:
  • é a proporção observada na amostra,
  • é a proporção assumida na hipótese nula (0,03),
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Depois de calcular o valor de z, o valor P é a probabilidade de obtermos um resultado tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Para um teste unilateral à esquerda, o valor P é dado por:
Isso significa que vamos procurar na tabela da distribuição normal padrão a probabilidade acumulada até o valor de z calculado.

Passo 5

Agora, comparamos o valor P com o nível de significância . Se o valor P for menor ou igual a 0,05, rejeitamos a hipótese nula. Caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

O valor P é a probabilidade acumulada até o valor z calculado no teste. Se, por exemplo, após calcular z, obtivermos , então:
Como , rejeitamos a hipótese nula a favor de com um nível de significância de 5%.

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