a) Teste a hipótese H0: p=0,03 contra H1: p<0,03, com alpha=0,05. Encontre o valor P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar uma hipótese sobre uma proporção. Especificamente, temos a hipótese nula H0: p = 0,03 contra a hipótese alternativa H1: p < 0,03. Além disso, o nível de significância é alpha = 0,05. O que precisamos fazer é encontrar o valor P desse teste. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a testes de hipóteses para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada hipótese representa. A hipótese nula H0: p = 0,03 está dizendo que a proporção verdadeira é 3%. Já a hipótese alternativa H1: p < 0,03 sugere que a proporção é menor que 3%. Nosso objetivo é verificar se há evidências suficientes nos dados para rejeitar a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.

Passo 3

Para calcular o valor P, precisamos de um teste estatístico. Como estamos lidando com proporções, usamos o teste z para proporções. A fórmula para o cálculo do z é:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • p é a proporção observada na amostra,
  • p0 é a proporção assumida na hipótese nula (0,03),
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Depois de calcular o valor de z, o valor P é a probabilidade de obtermos um resultado tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Para um teste unilateral à esquerda, o valor P é dado por:
P = P(Z <= z)
Isso significa que vamos procurar na tabela da distribuição normal padrão a probabilidade acumulada até o valor de z calculado.

Passo 5

Agora, comparamos o valor P com o nível de significância alpha = 0,05. Se o valor P for menor ou igual a 0,05, rejeitamos a hipótese nula. Caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

O valor P é a probabilidade acumulada até o valor z calculado no teste. Se, por exemplo, após calcular z, obtivermos z = -1,96, então:
P = P(Z <= -1,96) approx 0,025
Como 0,025 < 0,05, rejeitamos a hipótese nula H0: p = 0,03 a favor de H1: p < 0,03 com um nível de significância de 5%.

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