O tempo médio de atendimento em uma agência lotérica está sendo analisado por técnicos. Uma amostra de 40 clientes foi sistematicamente monitorada em relação ao tempo que levavam para serem atendidos, obtendo-se as seguintes estatísticas: tempo médio de atendimento de 195 segundos e desvio padrão de 15 segundos.
Considerando que o tempo de utilização segue uma distribuição normal:
A amostra utilizada seria suficiente se fosse exigida uma precisão de 1 minuto?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma agência lotérica que quer saber se o tempo médio de atendimento está dentro de uma certa precisão. Eles monitoraram 40 clientes e descobriram que, em média, o atendimento leva 195 segundos, com um desvio padrão de 15 segundos. A pergunta é: será que esse tamanho de amostra (40 clientes) é suficiente se eles querem uma precisão de 1 minuto (60 segundos) no tempo de atendimento?
Aqui, estamos trabalhando com estatística inferencial, mais especificamente com intervalos de confiança. Vamos precisar entender como calcular a precisão dessa estimativa com a amostra que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa “precisão de 1 minuto”. Nesse contexto, a precisão se refere ao margem de erro que queremos na nossa estimativa do tempo médio de atendimento. Ou seja, queremos que a média que calculamos na amostra esteja dentro de ±60 segundos da verdadeira média populacional.

Passo 3

Para calcular a margem de erro (E) em um intervalo de confiança, usamos a seguinte fórmula:
E = zalpha2 times sraizn
Onde:
  • $ z_{\frac{\alpha}{2}} $ é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • $ s $ é o desvio padrão da amostra.
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
Assumindo que queremos um nível de confiança de 95%, o valor de $ z_{\frac{\alpha}{2}} $ é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Agora, vamos calcular a margem de erro com os valores que temos:
  • Desvio padrão ($ s $) = 15 segundos
  • Tamanho da amostra ($ n $) = 40
  • Valor crítico ($ z_{\frac{\alpha}{2}} $) = 1,96
Aplicando na fórmula:
s
Primeiro, calculamos $ \sqrt{40} $:
n
Agora, a divisão:
zalpha2
Por fim, multiplicamos pelo valor crítico:
E = 1,96 times 15raiz40

Passo 5

Com a margem de erro calculada em aproximadamente 4,654 segundos, isso significa que a média estimada de 195 segundos está dentro de ±4,654 segundos da verdadeira média populacional com 95% de confiança.
Como 4,654 segundos é muito menor que a precisão desejada de 60 segundos (1 minuto), podemos concluir que a amostra de 40 clientes é mais do que suficiente para atingir a precisão requerida.

Resposta

Sim, a amostra de 40 clientes é suficiente, pois a margem de erro calculada (~4,65 segundos) está bem abaixo da precisão exigida de 60 segundos.

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