O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte função de probabilidade.
T=t 2 3 4 5 6 7
p(t)=P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
b) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R , mas, se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha , mas, se e<= processa a peça em menos de 6 minutos, ganha cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia adicional de R 0,50 em. Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. : quantia ganha por peça, em reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo , em minutos, que um operário leva para processar uma peça. A gente tem a distribuição de probabilidade de para cada valor de de 2 a 7 minutos. A matéria aqui é sobre variáveis aleatórias discretas, distribuição de probabilidade, média e variância. Para resolver, vamos precisar entender como construir a distribuição da nova variável aleatória (a quantia ganha), calcular a média e a variância dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a quantia 2,00 por peça Além disso, se e<= processar a peça em menos de 6 minutos, e<= ganha R é calculada com base no tempo G = 2 + 0,5 times (6 - T) & se T < 6 2 & se T >= 6 . O operário ganha um fixo de R$ 2,00 por peça. Além disso, se ele processar a peça em menos de 6 minutos, ele ganha R$ 0,50 por cada minuto poupado.
Então, se , ele ganha o fixo mais a recompensa pelos minutos poupados. Se , ele só ganha o fixo de R$ 2,00.
Vamos expressar isso matematicamente:

Passo 3

Agora, vamos calcular |c|c|c| hline T (t) & p(t) & G hline 2 & 0,1 & 2 + 0,5 times (6 - 2) = 2 + 2 = 4 3 & 0,1 & 2 + 0,5 times (6 - 3) = 2 + 1,5 = 3,5 4 & 0,3 & 2 + 0,5 times (6 - 4) = 2 + 1 = 3 5 & 0,2 & 2 + 0,5 times (6 - 5) = 2 + 0,5 = 2,5 6 & 0,2 & 2 7 & 0,1 & 2 hline para cada valor possível de |c|c| hline G (R$) & P(G) hline 4 & 0,1 3,5 & 0,1 3 & 0,3 2,5 & 0,2 2 & 0,3 hline :
Assim, temos a distribuição de :

Passo 4

Agora que temos a distribuição de E(G) = sum G times P(G) , vamos calcular a média (esperança matemática) de E(G) = 4 times 0,1 + 3,5 times 0,1 + 3 times 0,3 + 2,5 times 0,2 + 2 times 0,3 . A média E(G) = 0,4 + 0,35 + 0,9 + 0,5 + 0,6 = 2,75 reais é dada por:
Vamos calcular:

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de Var(G) = E(G^2) - [E(G)]^2 . A variância E(G^2) = sum G^2 times P(G) mede o quanto os valores de E(G^2) = 4^2 times 0,1 + 3,5^2 times 0,1 + 3^2 times 0,3 + 2,5^2 times 0,2 + 2^2 times 0,3 variam em relação à média. A fórmula é:
E(G^2) = 16 times 0,1 + 12,25 times 0,1 + 9 times 0,3 + 6,25 times 0,2 + 4 times 0,3
Primeiro, calculamos E(G^2) = 1,6 + 1,225 + 2,7 + 1,25 + 1,2 = 7,975 :
Var(G) = 7,975 - (2,75)^2 = 7,975 - 7,5625 = 0,4125 reais^2
Vamos calcular:
Agora, calculamos a variância:

Resposta

A distribuição da variável aleatória |c|c| hline G (R$) & P(G) hline 4 & 0,1 3,5 & 0,1 3 & 0,3 2,5 & 0,2 2 & 0,3 hline é:
A média de é R$ 2,75, e a variância de é 0,4125 reais².

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