O tempo
, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte função de probabilidade.
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2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|
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0,1 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,2 | 0,1 |
b) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de
, mas, se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha
cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia adicional de R
. Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a.
: quantia ganha por peça, em reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo
, em minutos, que um operário leva para processar uma peça. A gente tem a distribuição de probabilidade de
para cada valor de
de 2 a 7 minutos. A matéria aqui é sobre variáveis aleatórias discretas, distribuição de probabilidade, média e variância. Para resolver, vamos precisar entender como construir a distribuição da nova variável aleatória
(a quantia ganha), calcular a média e a variância dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a quantia
é calculada com base no tempo
. O operário ganha um fixo de R$ 2,00 por peça. Além disso, se ele processar a peça em menos de 6 minutos, ele ganha R$ 0,50 por cada minuto poupado.
Então, se
, ele ganha o fixo mais a recompensa pelos minutos poupados. Se
, ele só ganha o fixo de R$ 2,00.
Vamos expressar isso matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos calcular
para cada valor possível de
:
Assim, temos a distribuição de
:
Passo 4
Agora que temos a distribuição de
, vamos calcular a média (esperança matemática) de
. A média
é dada por:
Vamos calcular:
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância de
. A variância
mede o quanto os valores de
variam em relação à média. A fórmula é:
Primeiro, calculamos
:
Vamos calcular:
Agora, calculamos a variância:
Resposta
A distribuição da variável aleatória
é:
A média de
é R$ 2,75, e a variância de
é 0,4125 reais².