O tempo necessário para concluir um exame final em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e variância de 100 minutos
.
c) Suponha que a classe tenha 60 alunos e que a duração do exame seja de 90 minutos. Qual o número esperado de estudantes que concluiriam o exame no tempo determinado?
c) Suponha que a classe tenha 60 alunos e que a duração do exame seja de 90 minutos. Qual o número esperado de estudantes que concluiriam o exame no tempo determinado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o tempo que alunos levam para terminar um exame final. Esse tempo segue uma distribuição normal com média de 80 minutos e variância de 100 minutos². Precisamos descobrir quantos, de 60 alunos, vão conseguir terminar o exame dentro de 90 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e calcular a probabilidade de um aluno terminar em até 90 minutos. Depois, vamos aplicar essa probabilidade ao total de 60 alunos para encontrar o número esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a distribuição normal. Ela é uma curva simétrica onde a maioria dos valores se concentra perto da média. Aqui, a média é 80 minutos e o desvio padrão (que é a raiz quadrada da variância) é √100 = 10 minutos.
Passo 3
Queremos saber a probabilidade de um aluno terminar o exame em até 90 minutos. Isso corresponde a calcular
, onde
é o tempo para finalizar o exame.
Passo 4
Para encontrar essa probabilidade, vamos padronizar o valor usando a fórmula do escore z:
Onde:
-
minutos -
minutos -
minutos
Substituindo:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
na tabela da distribuição normal padrão. Sabemos que
é aproximadamente 0,8413. Isso significa que há cerca de 84,13% de chance de um aluno terminar o exame em até 90 minutos.
Passo 6
Como a classe tem 60 alunos, o número esperado de estudantes que terminarão o exame dentro do tempo determinado é:
Resposta
Portanto, espera-se que aproximadamente 50 alunos concluam o exame em até 90 minutos.