Um determinado país alega que seus habitantes vivem além dos 60 anos a uma proporção de 0,60. Se de cada mil habitantes, 530 ultrapassam 60 anos de idade, é possível confirmar a afirmação ao nível de 5% de significância? Marque a alternativa CORRETA.
a)Sim, pois certamente os habitantes vivem além dos 60 anos, em proporção de 0,60.
b)Não, pois os habitantes vivem além dos 61,2 anos, em proporção de 0,60.
c)Sim, pois na realidade, os habitantes vivem além dos 61,2 anos, em proporção de 0,60.
d)Não, pois os habitantes não vivem além dos 60 anos, em proporção de 0,60.
e)Sim, pois os habitantes vivem por volta de 59,4 anos o que, em uma significância de 5%, atende à proporção de 0,60.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a proporção de habitantes de um país que vivem além dos 60 anos. O país afirma que 60% da população atinge essa idade. A gente vai precisar usar testes de hipóteses para proporção para verificar se essa afirmação é válida com base na amostra fornecida. Vamos analisar os dados: de 1000 habitantes, 530 superaram os 60 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. Temos duas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção real de habitantes que vivem além dos 60 anos é 0,60.
    H₀: p = 0,60
  • Hipótese Alternativa (H₁): A proporção real de habitantes que vivem além dos 60 anos é diferente de 0,60.
    H₁: p neq 0,60

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Temos 530 habitantes que viveram além dos 60 anos em uma amostra de 1000.
p = 5301000 = 0,53
Isso significa que 53% dos habitantes na amostra viveram além dos 60 anos.

Passo 4

Precisamos calcular o valor do teste estatístico, que no caso de uma proporção é o z-score. A fórmula para o z-score é:
z = p - p₀raizp₀ (1 - p₀)n
Onde:
  • $ \hat{p} = 0,53 $ (proporção observada)
  • $ p₀ = 0,60 $ (proporção da hipótese nula)
  • $ n = 1000 $ (tamanho da amostra)
Vamos calcular:
p = 0,53

Passo 5

Com o z-score calculado, vamos determinar o valor-p, que nos ajuda a decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula. Como é um teste bilateral (a hipótese alternativa é diferente de 0,60), o valor-p será duas vezes a probabilidade de obtermos um z-score menor que -4,526.
Consultando a tabela de distribuição normal, vemos que para $ z = -4,526 $, a probabilidade é praticamente 0. Então:
z = -4,526

Passo 6

Comparamos o valor-p com o nível de significância $ \alpha = 0,05 $:
alpha = 0,05
Como o valor-p é menor que 0,05, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

d) Não, pois os habitantes não vivem além dos 60 anos, em proporção de 0,60.

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