Os tempos até a falha de um dispositivo eletrônico seguem o modelo exponencial, com uma taxa de falha lambda=0,012 falhas/hora. Indique qual a probabilidade de um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver a 50 horas? E a 100 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo até a falha de um dispositivo eletrônico, que segue um modelo exponencial. A gente tem uma taxa de falha lambda = 0,012 falhas por hora. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de um dispositivo aleatório sobreviver por 50 horas e depois por 100 horas. Vamos precisar entender um pouco sobre distribuições exponenciais e como calcular probabilidades de sobrevivência usando essa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é uma distribuição exponencial. Esse modelo é usado para representar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como a falha de dispositivos eletrônicos. A fórmula da função de sobrevivência, que mostra a probabilidade de o dispositivo durar além de um certo tempo t, é dada por:
P(T > t) = e^-lambda t
Aqui, P(T > t) é a probabilidade de o dispositivo sobreviver mais do que t horas, e é a base do logaritmo natural, e lambda é a taxa de falha.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de o dispositivo sobreviver a 50 horas. Usando a fórmula que vimos:
P(T > 50) = e^-0,012 times 50
Primeiro, multiplicamos a taxa de falha pela quantidade de horas:
0,012 times 50 = 0,6
Então, substituímos na fórmula:
P(T > 50) = e^-0,6 approx 0,5488
Isso significa que há aproximadamente 54,88% de chance de o dispositivo durar mais de 50 horas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de o dispositivo sobreviver a 100 horas. Novamente, usando a mesma fórmula:
P(T > 100) = e^-0,012 times 100
Multiplicando a taxa de falha pelas horas:
0,012 times 100 = 1,2
Substituindo na fórmula:
P(T > 100) = e^-1,2 approx 0,3012
Isso nos dá uma probabilidade de aproximadamente 30,12% de o dispositivo durar mais de 100 horas.

Resposta

A probabilidade de um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver a 50 horas é de aproximadamente 54,88%, e a probabilidade de sobreviver a 100 horas é de cerca de 30,12%.

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