Uma tensão de v(t)=180 cos (377 t+20^circ) V alimenta uma carga modelada por uma impedância de 10-j 5 Omega. Qual é a expressão da corrente i(t) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma tensão está alimentando uma carga que é representada por uma impedância de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a expressão da corrente .
Matéria envolvida: Circuitos de corrente alternada (AC), especialmente usando a Lei de Ohm em forma de fasores.
O que vamos precisar: Conhecer como aplicar a Lei de Ohm em AC, manipular números complexos (impedâncias), e converter as expressões de fasores de volta para a forma de função de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na corrente alternada, a Lei de Ohm é I = VZ , onde é a tensão, é a corrente, e é a impedância. Daí, podemos isolar a corrente:
Aqui, tanto quanto são números complexos (fasores).

Passo 3

Vamos representar a tensão V = Vm ang<= theta como um fasor. A forma geral de um fasor para uma tensão é:
V = 180 ang<= 20^circ , V
Onde é a amplitude e é o ângulo de fase. No nosso caso:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a impedância Z = |Z| ang<= phi . Para facilitar a divisão, é bom converter |Z| = raiz10^2 + (-5)^2 = raiz100 + 25 = raiz125 approx 11.18 , Omega para a forma polar, que é:
phi = tan^-1(-510) = tan^-1(-0.5) approx -26.57^circ
Primeiro, calculamos a magnitude Z approx 11.18 ang<= -26.57^circ , Omega :
E o ângulo :
Então,

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Ohm em fasores para encontrar o fasor da corrente I = VZ = 180 ang<= 20^circ11.18 ang<= -26.57^circ = 18011.18 ang<= (20^circ - (-26.57^circ)) :
18011.18 approx 16.11 , A
Calculando a magnitude:
20^circ + 26.57^circ = 46.57^circ
E somando os ângulos:
I approx 16.11 ang<= 46.57^circ , A
Então,

Passo 6

Por fim, vamos converter o fasor da corrente de volta para a forma de função de tempo. A forma geral é:
i(t) = Im cos(omega t + theta)
Onde i(t) = 16.11 cos(377 t + 46.57^circ) , A é a amplitude e é o ângulo de fase. Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

i(t) = 16.11 cos(377 t + 46.57^circ) , A

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