A tensão e a corrente em um circuito são, respectivamente: v(t)=270. sen( 300 t+ 60^circ) e i(t)=9,5 sen(300 cdot t+15^circ). Determinar a expressão para a potência instantânea p(t).
Determinar as potencies media e aparente Resp: S=1283,2 VA e P=907,35 W

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre circuitos de corrente alternada. A gente tem as expressões da tensão $ v(t) = 270 \cdot \sin(300t + 60^\circ) $ e da corrente $ i(t) = 9,5 \cdot \sin(300t + 15^\circ) $. Nosso objetivo é encontrar a potência instantânea $ p(t) $ e também calcular a potência média $ P $ e a potência aparente $ S $. Pra isso, vamos usar algumas fórmulas básicas da teoria de circuitos AC, como a fórmula da potência instantânea e os conceitos de potência média e aparente. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potência instantânea. Ela representa a potência em um instante específico de tempo e é calculada multiplicando a tensão pelo corrente naquele momento. Então, temos:
p(t) = v(t) cdot i(t)
Vamos multiplicar as duas funções que nos deram:
p(t) = 270 cdot sin(300t + 60^circ) times 9,5 cdot sin(300t + 15^circ)

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa multiplicação. A gente pode usar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
sin A cdot sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando isso na nossa expressão:
p(t) = 270 times 9,5 times 12 [cos((300t + 60^circ) - (300t + 15^circ)) - cos((300t + 60^circ) + (300t + 15^circ))]

Passo 4

Vamos simplificar os ângulos dentro do cosseno:
(A - B) = (300t + 60^circ) - (300t + 15^circ) = 45^circ
(A + B) = (300t + 60^circ) + (300t + 15^circ) = 600t + 75^circ
Substituindo de volta na equação:
p(t) = 270 times 9,5 times 12 [cos(45^circ) - cos(600t + 75^circ)]

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor numérico:
270 times 9,5 = 2565
2565 times 12 = 1282,5
Então:
p(t) = 1282,5 times [cos(45^circ) - cos(600t + 75^circ)]
Sabemos que $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7071 $, então:
cos(45^circ) = raiz22 approx 0,7071

Passo 6

Finalmente, temos a expressão para a potência instantânea:
p(t) approx 907,35 - 1282,5 cdot cos(600t + 75^circ)

Passo 7

Agora, vamos calcular a potência média $ P $. A potência média em um circuito AC é dada por:
P
Onde:
  • $ V_{m} $ é a amplitude da tensão (270 V)
  • $ I_{m} $ é a amplitude da corrente (9,5 A)
  • $ \phi $ é o ângulo de defasagem entre tensão e corrente
Primeiro, precisamos encontrar $ \phi $:
P = Vm times Im times cos(phi)
Então:
Vm
Im

Passo 8

Por fim, vamos calcular a potência aparente $ S $. Ela é dada por:
S
S = Vm times Im
Mas geralmente usamos a metade desse valor quando trabalhamos com amplitudes (já que $ V_{m} = \sqrt{2} V_{rms} $), então:
S = 270 times 9,5 = 2565 VA

Resposta

A potência instantânea é $ p(t) \approx 907,35 - 1282,5 \cdot \cos(600t + 75^\circ) $ watts. A potência média é $ P = 907,35 $ W e a potência aparente é $ S = 1283,2 $ VA.

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