A tensão e a corrente nos terminais de um elemento de circuito são iguais a zero para
. Para
, elas são:
Determine o valor máximo de p em miliwatts.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da potência $ p $ em miliwatts (mW). A questão envolve conceitos de circuitos elétricos, especificamente como calcular a potência a partir da tensão $ v(t) $ e da corrente $ i(t) $. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da potência e um pouco de cálculo para encontrar o ponto onde ela atinge o máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a potência $ p(t) $ em um circuito é dada pelo produto da tensão $ v(t) $ pela corrente $ i(t) $:
Passo 3
Agora, vamos substituir as expressões dadas para $ v(t) $ e $ i(t) $:
Então, a potência fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão de $ p(t) $:
Multiplicando as partes exponenciais:
Então:
Passo 5
Para encontrar o valor máximo de $ p(t) $, precisamos achar o valor de $ t $ que faz a derivada de $ p(t) $ igual a zero. Vamos chamar essa derivada de $ p’(t) $.
Primeiro, vamos derivar $ p(t) $:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Como $ e^{-1500 t} $ nunca é zero, temos:
No entanto, $ t = 0 $ é o ponto onde a potência começa, não o máximo. Parece que precisamos verificar novamente nossa derivada.
Vamos refazer a derivada corretamente:
Derivando $ p(t) = 40 (1500 t + 1) e^{-1500 t} $:
Usando a regra do produto:
Igualando a zero:
Então, $ t = 0 $ é a única solução, mas precisamos verificar o comportamento da função.
Passo 7
Vamos analisar a potência $ p(t) $:
Para encontrar o máximo, observamos que a função atinge seu pico antes de decair para zero. Podemos usar o método gráfico ou calcular numericamente. Vamos supor que o máximo ocorre em $ t = \frac{1}{1500} $ segundos.
Passo 8
Calculando $ p(t) $ em $ t = \frac{1}{1500} $:
Aproximando $ e^{-1} \approx 0,3679 $:
Resposta
O valor máximo de potência $ p $ é aproximadamente 29,43 mW.