Uma tensão de tração dever ser aplicada ao longo do eixo referente ao comprimento de um bastão cilíndrico de latão, que possui um diâmetro de 10 mm . Determine a magnitude da carga exigida para produzir uma alteração de 2,5×10-3 mm no diâmetro. A deformação é puramente elástica. (Resp.
)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um bastão cilíndrico de latão com diâmetro de 10 mm, e precisamos descobrir qual é a carga de tração que deve ser aplicada ao longo do comprimento desse bastão para que o diâmetro sofra uma redução de
mm. A deformação que ocorre é puramente elástica, ou seja, o material retorna à sua forma original quando a carga é removida.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de tensão, deformação e coeficiente de Poisson. Também vamos usar a fórmula da tensão de tração e a relação entre as deformações axial e lateral em um material elástico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
- Diâmetro inicial (
) = 10 mm - Redução no diâmetro (
) = mm - Deformação é puramente elástica
Como o bastão é submetido a uma carga de tração, além da deformação axial (ao longo do comprimento), haverá uma deformação lateral (no diâmetro) devido ao coeficiente de Poisson (
) do material. Para o latão, o coeficiente de Poisson típico é aproximadamente 0,34.
Passo 3
Vamos relacionar a mudança no diâmetro com a deformação axial usando o coeficiente de Poisson. A fórmula que liga essas grandezas é:
Onde:
-
é a variação no diâmetro -
é o diâmetro inicial -
é o coeficiente de Poisson -
é a variação no comprimento -
é o comprimento inicial
Como queremos encontrar a carga
, precisamos relacionar a deformação axial com a tensão e, consequentemente, com a carga.
Passo 4
A tensão (
) na direção axial é dada por:
Onde:
-
é a força de tração -
é a área da seção transversal do bastão
A área da seção transversal (
) de um cilindro é:
Substituindo
mm:
Passo 5
A deformação axial (
) também pode ser relacionada ao módulo de Young (
):
Mas vamos voltar à relação com a variação no diâmetro:
Isolando
:
Como a variação no diâmetro é uma redução, o sinal negativo indica a direção oposta da força, mas vamos considerar apenas o valor absoluto.
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores:
-
mm -
-
mm -
-
para o latão é aproximadamente MPa (ou N/mm²)
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Vamos simplificar os cálculos passo a passo:
- Multiplique
:
- Multiplique pelo módulo de Young:
- Divida pelo produto de
:
- Calculando os valores:
Resposta
A carga exigida para produzir a alteração no diâmetro é aproximadamente 5,6 kN.