Uma tensão de tração dever ser aplicada ao longo do eixo referente ao comprimento de um bastão cilíndrico de latão, que possui um diâmetro de 10 mm . Determine a magnitude da carga exigida para produzir uma alteração de 2,5×10-3 mm no diâmetro. A deformação é puramente elástica. (Resp. approx 5,6 kN )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um bastão cilíndrico de latão com diâmetro de 10 mm, e precisamos descobrir qual é a carga de tração que deve ser aplicada ao longo do comprimento desse bastão para que o diâmetro sofra uma redução de mm. A deformação que ocorre é puramente elástica, ou seja, o material retorna à sua forma original quando a carga é removida.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de tensão, deformação e coeficiente de Poisson. Também vamos usar a fórmula da tensão de tração e a relação entre as deformações axial e lateral em um material elástico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Diâmetro inicial ( ) = 10 mm
  • Redução no diâmetro ( ) = mm
  • Deformação é puramente elástica
Como o bastão é submetido a uma carga de tração, além da deformação axial (ao longo do comprimento), haverá uma deformação lateral (no diâmetro) devido ao coeficiente de Poisson ( ) do material. Para o latão, o coeficiente de Poisson típico é aproximadamente 0,34.

Passo 3

Vamos relacionar a mudança no diâmetro com a deformação axial usando o coeficiente de Poisson. A fórmula que liga essas grandezas é:
De
Onde:
  • é a variação no diâmetro
  • é o diâmetro inicial
  • é o coeficiente de Poisson
  • é a variação no comprimento
  • é o comprimento inicial
Como queremos encontrar a carga , precisamos relacionar a deformação axial com a tensão e, consequentemente, com a carga.

Passo 4

A tensão ( sigma = FA ) na direção axial é dada por:
A = pi D^24
Onde:
  • A = pi (10)^24 = 100pi4 = 25pi mm^2 é a força de tração
  • é a área da seção transversal do bastão
A área da seção transversal ( ) de um cilindro é:
Substituindo mm:

Passo 5

A deformação axial ( epsilon = De) também pode ser relacionada ao módulo de Young ( De):
F = -De
Mas vamos voltar à relação com a variação no diâmetro:
Isolando :
Como a variação no diâmetro é uma redução, o sinal negativo indica a direção oposta da força, mas vamos considerar apenas o valor absoluto.

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores:
  • F = 2,5 times 10^-3 times 25pi times 100 times 10^30,34 times 10 mm
  • mm
  • para o latão é aproximadamente MPa (ou N/mm²)
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Vamos simplificar os cálculos passo a passo:
  1. Multiplique 2,5 times 10^-3 times 25pi = 0,0625pi mm^3 :
0,0625pi times 100 times 10^3 = 6.25 times 10^3 pi N mm
  1. Multiplique pelo módulo de Young:
6.25 times 10^3 pi0,34 times 10 = 6.25 times 10^3 pi3,4 approx 6.25 times 3,1416 times 10^33,4
  1. Divida pelo produto de 6.25 times 3,1416 approx 19,635 19,635 times 10^33,4 approx 5.776 times 10^3 N :
  1. Calculando os valores:

Resposta

A carga exigida para produzir a alteração no diâmetro é aproximadamente 5,6 kN.

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