O teor de titânio em uma liga de um avião é um determinante importante da resistência. Uma amostra de 20 corpos de prova revela o seguinte teor (em percentagem) de titânico: 8,32; 8,05; 8,93; 8,65; 8,25; 8,46; 8,52; 8,35; 8,36; 8,41; 8,42; 8,30; 8,71; 8,75; 8,60; 8,83; 8,50; 8,38; 8,29; 8,46. A mediana do teor de titânio deve ser 8,5%. Use o teste dos sinais com α=0,05 para investigar essa hipótese. Qual é o valor P para esse teste?
a. 1,316
b. 0,8675
c. 0,1316
d. 0,9877
e. 0,4567

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de 20 valores que mostram o teor de titânio em uma liga de avião. O objetivo é verificar se a mediana desse teor é 8,5% usando o teste dos sinais, com um nível de significância de α = 0,05. Para isso, vamos precisar entender como funciona o teste dos sinais e aplicar ele passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem:
8,32; 8,05; 8,93; 8,65; 8,25; 8,46; 8,52; 8,35; 8,36; 8,41; 8,42; 8,30; 8,71; 8,75; 8,60; 8,83; 8,50; 8,38; 8,29; 8,46.
A mediana que estamos testando é 8,5%. Nosso objetivo é ver quantos desses valores estão acima ou abaixo de 8,5%.

Passo 3

Vamos contar quantos valores estão acima de 8,5% e quantos estão abaixo:
  • Valores acima de 8,5%: 8,93; 8,65; 8,52; 8,71; 8,75; 8,60; 8,83; 8,50 (considerando 8,50 >= 8,5%)
Total: 8 valores.
  • Valores abaixo de 8,5%: 8,32; 8,05; 8,25; 8,46; 8,35; 8,36; 8,41; 8,42; 8,30; 8,38; 8,29; 8,46.
Total: 12 valores.

Passo 4

No teste dos sinais, a gente considera apenas os valores que são diferentes da mediana proposta (8,5%). Aqui, temos 20 valores no total, e todos são diferentes de 8,5%, então não precisamos excluir nenhum.

Passo 5

Agora, considerando que estamos testando se a mediana é 8,5%, assumimos que cada valor tem 50% de chance de estar acima ou abaixo dessa mediana. Portanto, o número de valores acima de 8,5% segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 20 e p = 0,5.
Queremos encontrar a probabilidade de obter 8 ou menos valores acima de 8,5%.

Passo 6

A probabilidade de exatamente k sucessos em uma distribuição binomial é dada por:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Para nosso caso, n = 20, p = 0,5, e k = 8.
Mas, para o teste dos sinais, a gente precisa somar as probabilidades de k = 0 até k = 8.

Passo 7

Calculando a soma das probabilidades:
P(X <= 8) = sumk=0^8 binom20k cdot (0,5)^20
Isso dá uma probabilidade aproximada de 0,1316.

Resposta

c. 0,1316

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