Dados os pontos A (1,2), B (0,1) e C (2, m), calcule o valor de m para que a área do triângulo ABC seja 10.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo formado pelos pontos A (1,2), B (0,1) e C (2, m). O objetivo é encontrar o valor de “m” que faz com que a área desse triângulo seja igual a 10. Para resolver isso, vamos usar geometria analítica, especificamente a fórmula da área de um triângulo baseada nas coordenadas dos seus vértices.

Passo 2

Primeiro, lembra como calcular a área de um triângulo com as coordenadas dos pontos? A fórmula é:
Área = 12 | xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB) | Á
Onde $ (x_A, y_A) $, $ (x_B, y_B) $ e $ (x_C, y_C) $ são as coordenadas dos pontos A, B e C, respectivamente.

Passo 3

Vamos substituir as coordenadas dos pontos na fórmula:
  • $ x_A = 1 $, $ y_A = 2 $
  • $ x_B = 0 $, $ y_B = 1 $
  • $ x_C = 2 $, $ y_C = m $
Substituindo na fórmula:
xA = 1 Á

Passo 4

Simplificando a expressão:
Área = 12 | 1(1 - m) + 0 + 2(1) | = 12 | 1 - m + 2 | = 12 | 3 - m | Á
Sabemos que a área deve ser 10, então:
12 | 3 - m | = 10
Multiplicando ambos os lados por 2:
| 3 - m | = 20
Isso significa que:
3 - m = 20 ou 3 - m = -20
Resolvendo as duas equações:
  1. $ 3 - m = 20 $ 3 - m = 20 $ m = 3 - 20 = -17 $
  2. $ 3 - m = -20 $ Rightarrow $ m = 3 + 20 = 23 $

Resposta

Os valores de $ m $ que fazem a área do triângulo ABC ser 10 são $ m = -17 $ e $ m = 23 $.

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