A regra do produto nos diz que: sejam f(x) e g(x) funções deriváveis em x0, então, o produto delas r(x) = f(x) * g(x) também é derivável em x0 e a derivada satisfaz a fórmula r’(x) = f ’(x) * g(x) + f(x) * g’ (x). Sejam as funções f(x) = x2 – 5x e g(x) = -x3 + x -7, assinale a alternativa que contenha a derivada de r(x): Alternativas
Alternativa 1:r’(x) = 5x4 + 20x3 + 3x2 – 24x + 35
Alternativa 2:r’(x) = - 5x4 +16x3 + 3x2 – 16x + 2
Alternativa 3:r’(x) = - x4 + 12x3 – x + 8
Alternativa 4:r’(x) = - x4 - x3 + 3x2 – 2x + 4
Alternativa 5:r’(x) = - 2x4 + 3x3 +4x2 + 5x -1
Alternativa 1:r’(x) = 5x4 + 20x3 + 3x2 – 24x + 35
Alternativa 2:r’(x) = - 5x4 +16x3 + 3x2 – 16x + 2
Alternativa 3:r’(x) = - x4 + 12x3 – x + 8
Alternativa 4:r’(x) = - x4 - x3 + 3x2 – 2x + 4
Alternativa 5:r’(x) = - 2x4 + 3x3 +4x2 + 5x -1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a regra do produto na derivação. Temos duas funções, $ f(x) = x^2 - 5x $ e $ g(x) = -x^3 + x - 7 $. Queremos encontrar a derivada do produto dessas funções, ou seja, $ r(x) = f(x) \times g(x) $. Para isso, vamos usar a regra do produto, que nos diz que a derivada de $ r(x) $ é $ r’(x) = f’(x) \times g(x) + f(x) \times g’(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ f(x) $. A derivada de $ x^2 $ é $ 2x $ e a derivada de $ -5x $ é $ -5 $. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de $ g(x) $. A derivada de $ -x^3 $ é $ -3x^2 $, a derivada de $ x $ é $ 1 $ e a derivada de $ -7 $ é $ 0 $. Então:
Passo 4
Com as derivadas $ f’(x) $ e $ g’(x) $ em mãos, vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo as funções:
Passo 5
Vamos multiplicar cada termo:
Primeiro, $ (2x) \times (-x^3) = -2x^4 $
$ (2x) \times x = 2x^2 $
$ (2x) \times (-7) = -14x $
$ (2x) \times x = 2x^2 $
$ (2x) \times (-7) = -14x $
$ (-5) \times (-x^3) = 5x^3 $
$ (-5) \times x = -5x $
$ (-5) \times (-7) = 35 $
$ (-5) \times x = -5x $
$ (-5) \times (-7) = 35 $
Agora, somando esses:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar $ (x^2 - 5x) $ por $ (-3x^2 + 1) $:
$ x^2 \times (-3x^2) = -3x^4 $
$ x^2 \times 1 = x^2 $
$ x^2 \times 1 = x^2 $
$ (-5x) \times (-3x^2) = 15x^3 $
$ (-5x) \times 1 = -5x $
$ (-5x) \times 1 = -5x $
Somando esses:
Passo 7
Agora, vamos somar os dois resultados obtidos nos passos anteriores:
Juntando os termos semelhantes:
Resposta
A derivada de $ r(x) $ é:
Então, a Alternativa 1 está correta.