Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas. sumn=2^infty 1n ln n[ln (ln n)]^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Integral, que ajuda a gente a decidir isso analisando uma função contínua, positiva e decrescente. Vamos precisar integrar a função correspondente para ver se a integral dá um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a série com uma função contínua. A função correspondente é . Para usar o Teste da Integral, precisamos verificar se a integral de de 2 até o infinito converge.

Passo 3

Vamos montar a integral:
integral2^infty 1x ln x (ln (ln x))^2 , dx
Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar usando uma substituição.

Passo 4

Fazemos a substituição u = ln (ln x) du = 1ln x cdot 1x , dx . Vamos calcular dx = x ln x , du :
Isso nos dá:

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 1x ln x u^2 cdot x ln x , du = integral 1u^2 , du
Agora, a integral ficou bem mais simples!

Passo 6

Integrando:
integral 1u^2 , du = -1u + C = -1ln (ln x) + C
Agora, vamos avaliar essa antiderivada no intervalo de 2 até o infinito.

Passo 7

Analisando o limite:
limx to infty -1ln (ln x) = 0 E em x = 2, -1ln (ln 2)
Então, a integral definida é:
0 - (-1ln (ln 2)) = 1ln (ln 2)
Esse valor é finito.

Passo 8

Como a integral converge para um valor finito, pelo Teste da Integral, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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Determine as derivadas parciais indicadas. f(x, y) = sen(2x + 5y) ; fyx
Calcule a integral definida
integral0^1 sen(x^3) d x
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Calcule os quadrados.
(8-2 x)^(2)
Determine as derivadas parciais indicadas. f(x, y, z) = e^x sen(y z), fxyz