Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Integral, que ajuda a gente a decidir isso analisando uma função contínua, positiva e decrescente. Vamos precisar integrar a função correspondente para ver se a integral dá um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos associar a série com uma função contínua. A função correspondente é
. Para usar o Teste da Integral, precisamos verificar se a integral de
de 2 até o infinito converge.
Passo 3
Vamos montar a integral:
Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar usando uma substituição.
Passo 4
Fazemos a substituição
. Vamos calcular
:
Isso nos dá:
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora, a integral ficou bem mais simples!
Passo 6
Integrando:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada no intervalo de 2 até o infinito.
Passo 7
Analisando o limite:
Então, a integral definida é:
Esse valor é finito.
Passo 8
Como a integral
converge para um valor finito, pelo Teste da Integral, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais indicadas.
Calcule a integral definida
como uma série infinita.
Calcule os quadrados.
Determine as derivadas parciais indicadas.