Calcule a integral definida
integral0^1 sen(x^3) d x
como uma série infinita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo de uma integral definida de no intervalo de 0 a 1. Para resolver isso usando uma série infinita, vamos precisar lembrar de como expandir a função seno em uma série e depois integrar termo a termo. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de Taylor para a função seno. A fórmula geral é:
sin(z) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! z^2n+1
Aqui, sin(x^3) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! (x^3)^2n+1 = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^6n+3 é qualquer expressão que a gente escolher. No nosso caso, . Então, substituindo na série, temos:

Passo 3

Agora que temos a série para integral0^1 sin(x^3) , dx = integral0^1 sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^6n+3 , dx , vamos integrar termo a termo essa série no intervalo de 0 a 1. A integral fica:
sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! integral0^1 x^6n+3 , dx
Pela propriedade das séries, podemos trocar a ordem da soma e da integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de integral x^k , dx = x^k+1k+1 + C de 0 a 1. A fórmula da integral de integral0^1 x^6n+3 , dx = [ x^6n+46n+4 ]0^1 = 16n+4 - 0 = 16n+4 é:
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Substituindo de volta na soma, a integral fica:
sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! cdot 16n+4
Podemos simplificar um pouquinho mais, se quisermos:
sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! (6n+4)

Resposta

A integral definida de integral0^1 sin(x^3) , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! (6n+4) de 0 a 1, expressa como uma série infinita, é:

Exercícios relacionados

Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas. sumn=1^infty 6+n^31+2 n^4+n^8
Encontre a soma das séries convergentes a seguir. sumn=1^infty(e^1 / n-e^1 /(n+1))
Determine as derivadas parciais indicadas. f(x, y) = sen(2x + 5y) ; fyx
Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas. sumn=2^infty 1n ln n[ln (ln n)]^2