Calcule a integral definida
como uma série infinita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo de uma integral definida de
no intervalo de 0 a 1. Para resolver isso usando uma série infinita, vamos precisar lembrar de como expandir a função seno em uma série e depois integrar termo a termo. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de Taylor para a função seno. A fórmula geral é:
Aqui,
é qualquer expressão que a gente escolher. No nosso caso,
. Então, substituindo na série, temos:
Passo 3
Agora que temos a série para
, vamos integrar termo a termo essa série no intervalo de 0 a 1. A integral fica:
Pela propriedade das séries, podemos trocar a ordem da soma e da integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
de 0 a 1. A fórmula da integral de
é:
Aplicando isso, temos:
Passo 5
Substituindo de volta na soma, a integral fica:
Podemos simplificar um pouquinho mais, se quisermos:
Resposta
A integral definida de
de 0 a 1, expressa como uma série infinita, é:
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