Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas. sumn=1^infty 5^n2^n+7^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como comparar os termos da série com outra série conhecida que sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série: . A ideia aqui é simplificar esse termo para entender como ele se comporta quando fica muito grande.

Passo 3

Observando o denominador , percebemos que cresce muito mais rápido que conforme aumenta. Isso significa que, para valores grandes de , o termo se torna quase insignificante comparado a . Então, podemos aproximar .

Passo 4

Com essa aproximação, o termo da nossa série fica mais simples: . Agora, nossa série se parece com uma série geométrica da forma , onde .

Passo 5

Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, . No nosso caso, , o que indica que a série geométrica converge.

Passo 6

Como o termo geral da nossa série original é aproximadamente igual ao termo de uma série geométrica que converge, podemos concluir que a série também converge.

Resposta

A série converge.

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