Encontre a soma das séries convergentes a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma da série infinita
. Esse tipo de série é conhecido como série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam quando a gente soma tudo. Para resolver, vamos usar o conceito de séries telescópicas e entender como os termos se cancelam para achar a soma final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece. Vamos substituir alguns valores de
:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante…
Passo 3
Agora, vamos somar esses termos:
Observa que
aparece com sinal positivo e depois com sinal negativo,
também, e assim por diante. Isso significa que vários termos vão se cancelar!
Passo 4
No geral, se somarmos até algum termo
, teremos:
Isso porque todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas o primeiro termo
e o último termo
.
Passo 5
Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos fazer
tendendo ao infinito:
Quando
vai para o infinito,
vai para zero, e sabemos que
.
Passo 6
Portanto, a soma da série é:
Resposta
A soma da série é
.
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como uma série infinita.