Encontre a soma das séries convergentes a seguir. sumn=1^infty(e^1 / n-e^1 /(n+1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma da série infinita . Esse tipo de série é conhecido como série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam quando a gente soma tudo. Para resolver, vamos usar o conceito de séries telescópicas e entender como os termos se cancelam para achar a soma final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece. Vamos substituir alguns valores de e^1/1 - e^1/2 = e - e^0.5 :
Para e^1/2 - e^1/3 :
e^1/3 - e^1/4
Para :
Para :
E assim por diante…

Passo 3

Agora, vamos somar esses termos:
(e - e^0.5) + (e^0.5 - e^1/3) + (e^1/3 - e^1/4) + dots
Observa que aparece com sinal positivo e depois com sinal negativo, também, e assim por diante. Isso significa que vários termos vão se cancelar!

Passo 4

No geral, se somarmos até algum termo sumn=1^N(e^1 / n-e^1 /(n+1)) = e - e^1/(N+1) , teremos:
Isso porque todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas o primeiro termo e o último termo .

Passo 5

Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos fazer limN to infty (e - e^1/(N+1)) tendendo ao infinito:
Quando vai para o infinito, vai para zero, e sabemos que .

Passo 6

Portanto, a soma da série é:
e - 1

Resposta

A soma da série é .

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