Um teste para a detecção do vírus da COVID-19 foi aplicado a 5100 portadores e a 9900 não portadores deste vírus, tendo-se obtido os seguintes resultados:
Resultado do teste Portador Não portador
Positivo 4950 750
Negativo 150 9150
Calcule a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso, de entre os submetidos ao teste:
(a) Ter um resultado positivo no teste.
(b) Ter um resultado positivo no teste e ser portador do vírus.
© Não ser portador do vírus e ter um resultado negativo.
(d) Ter um resultado positivo sabendo que não é portador do vírus.
(e) Ter um resultado negativo sabendo que é portador do vírus.
(f) Ser portador do vírus sabendo que o teste é positivo.
(g) Não ser portador da doença sabendo que o teste deu negativo.
(h) O resultado do teste é independente do facto do indivíduo ser portador do vírus?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre probabilidade aplicado a um teste de detecção do vírus da COVID-19. O objetivo aqui é calcular várias probabilidades com base nos resultados do teste. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade, como eventos, espaço amostral e probabilidades condicionais. Vamos usar as informações fornecidas na tabela para resolver cada parte do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Portadores do vírus: 5.100
    • Positivo no teste: 4.950
    • Negativo no teste: 150
  • Não portadores do vírus: 9.900
    • Positivo no teste: 750
    • Negativo no teste: 9.150
  • Total de indivíduos testados: 15.000

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte (a): Calcule a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso, de entre os submetidos ao teste, ter um resultado positivo no teste.
Para calcular essa probabilidade, usamos a fórmula básica da probabilidade:
P(Positivo) = Número de positivosTotal de indivíduos testados úí

Passo 4

Vamos somar o número de resultados positivos:
Número de positivos = 4.950 (portadores) + 750 (não portadores) = 5.700 úã

Passo 5

Agora, aplicamos na fórmula:
P(Positivo) = 5.70015.000 = 0,38 ou 38%

Passo 6

Resposta a) A probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ter um resultado positivo no teste é 38%.

Passo 7

Vamos para a parte (b): Calcule a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ter um resultado positivo no teste e ser portador do vírus.
Aqui, queremos a probabilidade de dois eventos ocorrerem juntos: ser portador e ter um resultado positivo. Nesse caso, usamos a probabilidade conjunta:
P(Positivo e Portador) = Número de portadores positivosTotal de indivíduos testados úí

Passo 8

Usando os dados:
P(Positivo e Portador) = 4.95015.000 = 0,33 ou 33%

Passo 9

Resposta b) A probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ter um resultado positivo no teste e ser portador do vírus é 33%.

Passo 10

Passando para a parte ©: Calcule a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso não ser portador do vírus e ter um resultado negativo no teste.
Aqui, queremos a probabilidade conjunta de não ser portador e ter um resultado negativo:
P(Não Portador e Negativo) = Número de não portadores negativosTotal de indivíduos testados ãúãí

Passo 11

Usando os dados:
P(Não Portador e Negativo) = 9.15015.000 = 0,61 ou 61% ã

Passo 12

Resposta c) A probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso não ser portador do vírus e ter um resultado negativo no teste é 61%.

Passo 13

Agora, vamos para a parte (d): Calcule a probabilidade de um indivíduo ter um resultado positivo sabendo que não é portador do vírus.
Aqui, estamos lidando com uma probabilidade condicional, ou seja, queremos saber a probabilidade de resultado positivo dado que não é portador. A fórmula é:
P(Positivo mid Não Portador) = Número de não portadores positivosTotal de não portadores ãúãã

Passo 14

Usando os dados:
P(Positivo mid Não Portador) = 7509.900 approx 0,0758 ou 7,58% ã

Passo 15

Resposta d) A probabilidade de um indivíduo ter um resultado positivo no teste sabendo que não é portador do vírus é aproximadamente 7,58%.

Passo 16

Seguimos para a parte (e): Calcule a probabilidade de um indivíduo ter um resultado negativo sabendo que é portador do vírus.
Novamente, é uma probabilidade condicional:
P(Negativo mid Portador) = Número de portadores negativosTotal de portadores ú

Passo 17

Usando os dados:
P(Negativo mid Portador) = 1505.100 approx 0,0294 ou 2,94%

Passo 18

Resposta e) A probabilidade de um indivíduo ter um resultado negativo no teste sabendo que é portador do vírus é aproximadamente 2,94%.

Passo 19

Vamos para a parte (f): Calcule a probabilidade de um indivíduo ser portador do vírus sabendo que o teste é positivo.
Mais uma vez, estamos em uma situação de probabilidade condicional:
P(Portador mid Positivo) = Número de portadores positivosNúmero total de positivos úú

Passo 20

Usando os dados:
P(Portador mid Positivo) = 4.9505.700 approx 0,8667 ou 86,67%

Passo 21

Resposta f) A probabilidade de um indivíduo ser portador do vírus sabendo que o teste é positivo é aproximadamente 86,67%.

Passo 22

Agora, para a parte (g): Calcule a probabilidade de um indivíduo não ser portador da doença sabendo que o teste deu negativo.
Mais uma vez, uma probabilidade condicional:
P(Não Portador mid Negativo) = Número de não portadores negativosNúmero total de negativos ãúãú

Passo 23

Usando os dados:
P(Não Portador mid Negativo) = 9.1509.300 approx 0,9839 ou 98,39% ã

Passo 24

Resposta g) A probabilidade de um indivíduo não ser portador da doença sabendo que o teste deu negativo é aproximadamente 98,39%.

Passo 25

Finalmente, chegamos à parte (h): O resultado do teste é independente do fato do indivíduo ser portador do vírus?
Para verificar se dois eventos são independentes, usamos a condição:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Se essa igualdade for verdadeira, os eventos são independentes.
Aqui, queremos verificar se o resultado do teste (Positivo ou Negativo) é independente de ser Portador ou Não Portador.

Passo 26

Vamos verificar para o caso de Positivo e Portador:
P(Positivo e Portador) = 0,33 (da resposta b)
P(Positivo) = 0,38 (da resposta a)
P(Portador) = 5.10015.000 = 0,34
P(Positivo) times P(Portador) = 0,38 times 0,34 = 0,1292
Como , os eventos não são independentes.

Passo 27

Resposta h) Não, o resultado do teste não é independente do fato do indivíduo ser portador do vírus.

Resposta

Concluímos todas as partes do exercício conforme descrito acima, calculando cada probabilidade passo a passo e verificando a independência dos eventos.

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