Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
y * y' + 4 * x = 0, y(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) separável:
Além disso, temos a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar o método das EDOs separáveis, que é um jeito de separar as variáveis da equação para facilitar a solução. Vamos precisar de conhecimentos básicos de cálculo diferencial e álgebra para seguir os passos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . A equação original é:
Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e para integrar cada lado da equação. Multiplicamos ambos os lados por e por :
Isso coloca todos os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
Vamos resolver essas integrais:
A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:

Passo 5

Agora, juntamos as integrações:
Onde é a constante de integração (resultante de ).

Passo 6

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial . Substituindo e na equação:
Então, .

Passo 7

Com a constante encontrada, substituímos de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :
Considerando que é positivo, mantemos a raiz positiva.

Resposta

A solução particular da EDO dada, com a condição inicial , é:

Exercícios relacionados