Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) separável:
Além disso, temos a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método das EDOs separáveis, que é um jeito de separar as variáveis da equação para facilitar a solução. Vamos precisar de conhecimentos básicos de cálculo diferencial e álgebra para seguir os passos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. A equação original é:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação. Multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Isso coloca todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
Vamos resolver essas integrais:
A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, juntamos as integrações:
Onde
é a constante de integração (resultante de
).
Passo 6
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Então,
.
Passo 7
Com a constante encontrada, substituímos de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Considerando que
é positivo, mantemos a raiz positiva.
Resposta
A solução particular da EDO dada, com a condição inicial
, é:
Exercícios relacionados
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.2) limitado pelo plano e pelo hemisfério
, em relação ao seu eixo, com densidade constante
(7.2) limitado pelo plano
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável: