Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) separável:
Além disso, temos a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método das EDOs separáveis, que é um jeito de separar as variáveis da equação para facilitar a solução. Vamos precisar de conhecimentos básicos de cálculo diferencial e álgebra para seguir os passos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. A equação original é:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação. Multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Isso coloca todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
Vamos resolver essas integrais:
A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, juntamos as integrações:
Onde
é a constante de integração (resultante de
).
Passo 6
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Então,
.
Passo 7
Com a constante encontrada, substituímos de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Considerando que
é positivo, mantemos a raiz positiva.
Resposta
A solução particular da EDO dada, com a condição inicial
, é: