Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
y * y' + 4 * x = 0, y(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) separável:
Além disso, temos a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar o método das EDOs separáveis, que é um jeito de separar as variáveis da equação para facilitar a solução. Vamos precisar de conhecimentos básicos de cálculo diferencial e álgebra para seguir os passos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . A equação original é:
Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e para integrar cada lado da equação. Multiplicamos ambos os lados por e por :
Isso coloca todos os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
Vamos resolver essas integrais:
A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:

Passo 5

Agora, juntamos as integrações:
Onde é a constante de integração (resultante de ).

Passo 6

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial . Substituindo e na equação:
Então, .

Passo 7

Com a constante encontrada, substituímos de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :
Considerando que é positivo, mantemos a raiz positiva.

Resposta

A solução particular da EDO dada, com a condição inicial , é:

Exercícios relacionados

Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
y y' + 36 x = 0
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-pi * sen(pi x) * sinh(y) + cos(pi x) * cosh(y) * d y/d x = 0
Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.2) limitado pelo plano z = 0 e pelo hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = a^2, z ≥ 0, em relação ao seu eixo, com densidade constante sigma_0
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
y' = y / x + (2 x^3 / y) cos(x^2), y(raiz(pi / 2)) = raiz(pi)