Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução particular de uma equação diferencial ordinária (EDO) usando o método de separação de variáveis. A equação dada é:
Vamos precisar manipular essa equação para separar as variáveis
e
e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Expandindo o lado direito:
Agora, vamos trazer todos os termos com
para o lado esquerdo:
Fatorando
no lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Agora, a ideia é separar as variáveis
e
para poder integrar cada lado. Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Assim, conseguimos separar as variáveis, ficando
para um lado e
para o outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados agora. Do lado esquerdo:
Do lado direito, fazemos uma substituição para facilitar. Seja
, então:
Então, a integral fica:
Igualando as integrais:
Onde
é uma constante.
Passo 5
Para resolver para
, exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma constante.
Agora, usamos a condição inicial
:
Então,
.
Resposta
A solução particular da EDO é:
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Sejam
diferenciável e
. Calcule
e
.
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Calcular, caso existam, os valores de
e
, onde
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.