Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
dr/dθ = b[dr/dθ cos θ + r sen θ], r(1/2 π) = π, 0 < b < 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução particular de uma equação diferencial ordinária (EDO) usando o método de separação de variáveis. A equação dada é:
Vamos precisar manipular essa equação para separar as variáveis e e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Expandindo o lado direito:
Agora, vamos trazer todos os termos com para o lado esquerdo:
Fatorando no lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Passo 3

Agora, a ideia é separar as variáveis e para poder integrar cada lado. Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :
Assim, conseguimos separar as variáveis, ficando para um lado e para o outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados agora. Do lado esquerdo:
Do lado direito, fazemos uma substituição para facilitar. Seja , então:
Então, a integral fica:
Igualando as integrais:
Onde é uma constante.

Passo 5

Para resolver para , exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante.
Agora, usamos a condição inicial :
Então, .

Resposta

A solução particular da EDO é:

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