Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
dr/dθ = b[dr/dθ cos θ + r sen θ], r(1/2 π) = π, 0 < b < 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução particular de uma equação diferencial ordinária (EDO) usando o método de separação de variáveis. A equação dada é:
Vamos precisar manipular essa equação para separar as variáveis e e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Expandindo o lado direito:
Agora, vamos trazer todos os termos com para o lado esquerdo:
Fatorando no lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Passo 3

Agora, a ideia é separar as variáveis e para poder integrar cada lado. Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :
Assim, conseguimos separar as variáveis, ficando para um lado e para o outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados agora. Do lado esquerdo:
Do lado direito, fazemos uma substituição para facilitar. Seja , então:
Então, a integral fica:
Igualando as integrais:
Onde é uma constante.

Passo 5

Para resolver para , exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante.
Agora, usamos a condição inicial :
Então, .

Resposta

A solução particular da EDO é:

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Sejam f(x, y) diferenciável e F(r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)). Calcule Fr = F_r e F_theta.
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
2xyy' = 3y^2 + x^2, y(1) = 2
Calcular, caso existam, os valores de f_x(1, -1) e f_y(1,-1), onde
f(x, y) = { (x^2 - x*y^2) / (x + y), se x != -y; 1, se x = -y }
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^x (cos(y) - sen(y) d(y)/d(x)) = 0