Indique com limites de integração e utilizando coordenadas cilíndricas, as integrais iteradas que calculam:
(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro
(parte interna) e pelo cone
(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a ordenada do centróide de um sólido limitado pelo cilindro
(parte interna) e pelo cone
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são úteis para sólidos com simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, definimos
,
e
. Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
. Precisaremos configurar as integrais iteradas para calcular a ordenada do centróide.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para
,
e
. O cilindro
pode ser reescrito em coordenadas cilíndricas substituindo
e
:
Expandindo:
Simplificando:
Assim,
varia de
a
.
Passo 3
O cone é dado por
. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Como o cone se estende para cima e para baixo, mas estamos interessados na parte superior, consideramos
de
a
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para
. Observando a equação
, percebemos que para
ser positivo,
deve ser positivo. Portanto,
varia de
a
.
Passo 5
Para calcular a ordenada do centróide, usamos a fórmula:
Em coordenadas cilíndricas,
. Então, a integral fica:
Simplificando, temos:
Resposta
A ordenada do centróide é dada por: