Indique com limites de integração e utilizando coordenadas cilíndricas, as integrais iteradas que calculam:
(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro (x-1)² + y² = 1 (parte interna) e pelo cone z^2 = (x^2 + y^2) / 4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a ordenada do centróide de um sólido limitado pelo cilindro (x-1)² + y² = 1 (parte interna) e pelo cone z^2 = (x^2 + y^2) / 4. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são úteis para sólidos com simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, definimos , e . Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por . Precisaremos configurar as integrais iteradas para calcular a ordenada do centróide.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para r, theta e z. O cilindro (x-1)² + y² = 1 pode ser reescrito em coordenadas cilíndricas substituindo x e y:
Expandindo:
Simplificando:
Assim, r varia de 0 a .

Passo 3

O cone é dado por . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Como o cone se estende para cima e para baixo, mas estamos interessados na parte superior, consideramos z de 0 a .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para theta. Observando a equação , percebemos que para r ser positivo, deve ser positivo. Portanto, theta varia de a pi / 2.

Passo 5

Para calcular a ordenada do centróide, usamos a fórmula:
Em coordenadas cilíndricas, . Então, a integral fica:
Simplificando, temos:

Resposta

A ordenada do centróide é dada por:

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