Indique com limites de integração e utilizando coordenadas cilíndricas, as integrais iteradas que calculam:
(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro
(parte interna) e pelo cone
(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a ordenada do centróide de um sólido limitado pelo cilindro
(parte interna) e pelo cone
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são úteis para sólidos com simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, definimos
,
e
. Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
. Precisaremos configurar as integrais iteradas para calcular a ordenada do centróide.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para
,
e
. O cilindro
pode ser reescrito em coordenadas cilíndricas substituindo
e
:
Expandindo:
Simplificando:
Assim,
varia de
a
.
Passo 3
O cone é dado por
. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Como o cone se estende para cima e para baixo, mas estamos interessados na parte superior, consideramos
de
a
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para
. Observando a equação
, percebemos que para
ser positivo,
deve ser positivo. Portanto,
varia de
a
.
Passo 5
Para calcular a ordenada do centróide, usamos a fórmula:
Em coordenadas cilíndricas,
. Então, a integral fica:
Simplificando, temos:
Resposta
A ordenada do centróide é dada por:
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Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.1) paralelepípedo limitado pelos planos e
, sendo a densidade
para
, e a densidade
para
(4.1) paralelepípedo limitado pelos planos
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
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