Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
. O assunto aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) exatas. Vamos precisar verificar se a EDO é exata, e se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois, resolvemos a equação e usamos a condição inicial para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
Podemos reescrever isso como:
Onde:
Passo 3
Agora, para testar se a EDO é exata, verificamos se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a EDO não é exata.
Passo 4
Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de
, denotado por
.
A condição para que
torne a EDO exata é:
Substituindo os valores:
Essa é uma equação diferencial simples cuja solução é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Passo 7
Integrando
:
Usando integração por partes ou fórmulas de integrais para funções exponenciais multiplicadas por seno e cosseno, encontramos:
Então, a função
fica:
Passo 8
Resolvendo para
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Como
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução da EDO é
.
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Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
b)
b)
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