Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
cos(ω x) + ω sen(ω x) + e^x dy/dx = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou: cos(ω x) + ω sen(ω x) + e^x dy/dx = 0, y(0) = 1. O assunto aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) exatas. Vamos precisar verificar se a EDO é exata, e se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois, resolvemos a equação e usamos a condição inicial para achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
Podemos reescrever isso como:
Onde:

Passo 3

Agora, para testar se a EDO é exata, verificamos se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a EDO não é exata.

Passo 4

Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de , denotado por .
A condição para que torne a EDO exata é:
Substituindo os valores:
Essa é uma equação diferencial simples cuja solução é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :

Passo 7

Integrando :
Usando integração por partes ou fórmulas de integrais para funções exponenciais multiplicadas por seno e cosseno, encontramos:
Então, a função fica:

Passo 8

Resolvendo para :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Como :
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução da EDO é .

Exercícios relacionados

Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-3y dx + 2x dy = 0, F(x, y) = y / x^4
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(2 x + 1 / y - y / x^2) + (2 y + 1 / x - x / y^2) d y / d x = 0
Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
b) lim x 0 raiz[3]x 2^sen(1x^2)
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-sen(x y) [y + x d y/d x] = 0, y(1) = pi