(a) Obtenha a transformada de Laplace da função
.
Passo 1
No enunciado, precisamos encontrar a transformada de Laplace da função
. Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são ferramentas matemáticas usadas para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos utilizar a propriedade da transformada de Laplace para funções da forma
multiplicadas por uma função trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a transformada de Laplace da função
:
Aqui,
, então:
Passo 3
Sabemos que a transformada de Laplace de
pode ser obtida derivando a transformada de
em relação a
vezes e multiplicando pelo fator
. Matematicamente:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Calculando a primeira derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada:
Passo 6
Substituindo na expressão original da transformada:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
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Forneça os valores das constantes
e
tais que as funções dadas satisfaçam as condições:
, onde
e
.
Forneça os valores das constantes
e
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e
.
Teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.