(a) Obtenha a transformada de Laplace da função .

Passo 1

No enunciado, precisamos encontrar a transformada de Laplace da função . Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são ferramentas matemáticas usadas para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos utilizar a propriedade da transformada de Laplace para funções da forma multiplicadas por uma função trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a transformada de Laplace da função :
Aqui, , então:

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace de pode ser obtida derivando a transformada de em relação a vezes e multiplicando pelo fator . Matematicamente:
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Calculando a primeira derivada em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada:

Passo 6

Substituindo na expressão original da transformada:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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