Forneça os valores das constantes c1 e c2 tais que as funções dadas satisfaçam as condições: y(x) = c1 sen(x) + c2 cos(x) - 1, onde y(3 pi/2) = 1 e y'(\pi/2) = 3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores das constantes e na função
sendo que e .
Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e derivadas. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades das funções seno e cosseno, além de calcular e utilizar a derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição . Isso significa que quando substituímos na função , o resultado deve ser igual a 1.
Então, substituindo:
Sabemos que:
Substituindo esses valores:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação obtida:
Então, encontramos que .

Passo 4

Em seguida, precisamos usar a segunda condição: . Para isso, primeiro vamos encontrar a derivada de .
A função original é:
Derivando em relação a :
Agora, substituímos :
Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

As constantes são e .

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