Um teste de múltipla escolha é composto de 12 questões, com 5 alternativas de resposta, sendo que somente uma é correta. Qual a probabilidade de uma pessoa, marcando aleatoriamente as 12 questões, acertar metade das respostas?
(a) 1,55%
(b) 1,35%
© 1,25%
(d) 1,05%

Passo 1

Estamos resolvendo um exercício de probabilidade que envolve um teste de múltipla escolha com 12 questões. Cada questão tem 5 alternativas, mas apenas uma está correta. Queremos descobrir qual a chance de uma pessoa, escolhendo as respostas aleatoriamente, acertar exatamente metade das questões, ou seja, 6 perguntas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade de acertar uma única questão ao escolher aleatoriamente. Como há 5 alternativas e somente uma está correta, a probabilidade de acertar uma resposta é de $ \frac{1}{5} $ ou 0,2.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a probabilidade de acertar exatamente 6 das 12 questões. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade binomial:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n = 12 $ é o número total de questões.
  • $ k = 6 $ é o número de acertos que queremos.
  • $ p = 0,2 $ é a probabilidade de acertar uma única questão.
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de 12 questões tomadas 6 a 6.

Passo 4

Vamos calcular $ C(12, 6) $:
C(12, 6)

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(6) = 924 times (0,2)^6 times (1 - 0,2)^12 - 6

Passo 6

Calculamos cada parte da expressão:
(0,2)^6 = 0,000064
(0,8)^6 = 0,262144

Passo 7

Multiplicamos todos os termos:
P(6) = 924 times 0,000064 times 0,262144 approx 0,015

Passo 8

Convertendo para porcentagem:
0,015 times 100% = 1,5%

Resposta

A probabilidade de acertar exatamente metade das 12 questões é aproximadamente 1,55%.

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