Teste a série alternada quanto à convergência ou divergência. .

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos pede para testar se a série alternada converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série. A série é alternada porque o termo alterna sinais conforme varia. Além disso, temos o fatorial no denominador, que cresce muito rapidamente conforme aumenta.

Passo 3

Vamos analisar os termos da série. Sabemos que:
Para valores inteiros de , o seno de múltiplos de resulta em valores que alternam entre 0, 1, 0, -1, e assim por diante. Portanto, os termos da série vão alternar entre positivos e negativos, além de alguns serem zero.

Passo 4

Para testar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos são decrescentes, ou seja, .
  3. O limite de quando tende ao infinito é zero.

Passo 5

No nosso caso, podemos reescrever a série considerando o sinal alternado:
Aqui, , que são todos positivos.

Passo 6

Agora, vamos verificar se os termos são decrescentes:
Sabemos que cresce muito rapidamente conforme aumenta, enquanto o valor absoluto de é sempre no máximo 1. Portanto, à medida que aumenta, diminui.

Passo 7

Por fim, verificamos o limite de quando tende ao infinito:
Isso ocorre porque o fatorial cresce mais rápido que qualquer função trigonométrica limitada.

Passo 8

Como todos os três critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, concluímos que a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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