Teste a série alternada quanto à convergência ou divergência.
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Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos pede para testar se a série alternada
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série. A série é alternada porque o termo
alterna sinais conforme
varia. Além disso, temos o fatorial
no denominador, que cresce muito rapidamente conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos analisar os termos da série. Sabemos que:
Para valores inteiros de
, o seno de múltiplos de
resulta em valores que alternam entre 0, 1, 0, -1, e assim por diante. Portanto, os termos da série vão alternar entre positivos e negativos, além de alguns serem zero.
Passo 4
Para testar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
são decrescentes, ou seja, . - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Passo 5
No nosso caso, podemos reescrever a série considerando o sinal alternado:
Aqui,
, que são todos positivos.
Passo 6
Agora, vamos verificar se os termos
são decrescentes:
Sabemos que
cresce muito rapidamente conforme
aumenta, enquanto o valor absoluto de
é sempre no máximo 1. Portanto, à medida que
aumenta,
diminui.
Passo 7
Por fim, verificamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso ocorre porque o fatorial
cresce mais rápido que qualquer função trigonométrica limitada.
Passo 8
Como todos os três critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, concluímos que a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.
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.
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