Teste a série para a convergência ou divergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de Séries Alternadas e Testes de Convergência. Vamos precisar entender como funciona o Teste da Série Alternada e também conferir se a série converge absolutamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da série. A série que temos é uma série alternada porque alterna os sinais positivos e negativos devido ao termo
. Séries alternadas são aquelas em que os termos mudam de sinal conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos. - Os termos
são decrescentes e tendem a zero conforme vai para o infinito.
No nosso caso,
, que são positivos.
Passo 4
Vamos verificar se
tende a zero quando
cresce. Calculando o limite:
Então, os termos realmente tendem a zero.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é uma sequência decrescente. Observamos que, conforme
aumenta, o denominador
aumenta, fazendo com que
diminua. Portanto,
é decrescente.
Passo 6
Como todas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
convergente.