Teste a série para a convergência ou divergência:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de Séries Alternadas e Testes de Convergência. Vamos precisar entender como funciona o Teste da Série Alternada e também conferir se a série converge absolutamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da série. A série que temos é uma série alternada porque alterna os sinais positivos e negativos devido ao termo . Séries alternadas são aquelas em que os termos mudam de sinal conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos são decrescentes e tendem a zero conforme vai para o infinito.
No nosso caso, , que são positivos.

Passo 4

Vamos verificar se tende a zero quando cresce. Calculando o limite:
Então, os termos realmente tendem a zero.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é uma sequência decrescente. Observamos que, conforme aumenta, o denominador aumenta, fazendo com que diminua. Portanto, é decrescente.

Passo 6

Como todas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série convergente.

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