(Crescimento Populacional) Em um estudo sobre crescimento populacional de uma cidade, observa-se que a população P(t) cresce ao longo do tempo t, em anos, de acordo com a função P(t) = 1000 t / (t + 1). O que acontece com esta função quando t cresce?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento da população de uma cidade ao longo do tempo. A função que descreve essa população é , onde é o tempo em anos. Nosso objetivo aqui é entender o que acontece com essa população quando o tempo fica bem grande, ou seja, quando cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa analisar o comportamento de uma função quando cresce. Basicamente, queremos saber qual o valor que se aproxima conforme vai para o infinito. Isso é conhecido como calcular o limite da função quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o conceito de limite para encontrar esse valor. Queremos calcular:
Para resolver isso, observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm como o termo de maior grau.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dividindo cada termo pelo maior grau de , que nesse caso é :
Quando fica muito grande, fica muito pequeno, praticamente zero. Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Interpretando esse resultado: isso significa que, conforme o tempo aumenta indefinidamente, a população se aproxima de 1000 habitantes. Ou seja, a população tende a estabilizar em torno de 1000 pessoas à medida que o tempo passa.

Resposta

Quando cresce, a função se aproxima de 1000 habitantes.

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