(Crescimento Populacional) Em um estudo sobre crescimento populacional de uma cidade, observa-se que a população
cresce ao longo do tempo
, em anos, de acordo com a função
. O que acontece com esta função quando
cresce?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento da população de uma cidade ao longo do tempo. A função que descreve essa população é
, onde
é o tempo em anos. Nosso objetivo aqui é entender o que acontece com essa população quando o tempo
fica bem grande, ou seja, quando
cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa analisar o comportamento de uma função quando
cresce. Basicamente, queremos saber qual o valor que
se aproxima conforme
vai para o infinito. Isso é conhecido como calcular o limite da função quando
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o conceito de limite para encontrar esse valor. Queremos calcular:
Para resolver isso, observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm
como o termo de maior grau.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dividindo cada termo pelo maior grau de
, que nesse caso é
:
Quando
fica muito grande,
fica muito pequeno, praticamente zero. Então, a expressão simplifica para:
Passo 5
Interpretando esse resultado: isso significa que, conforme o tempo
aumenta indefinidamente, a população
se aproxima de 1000 habitantes. Ou seja, a população tende a estabilizar em torno de 1000 pessoas à medida que o tempo passa.
Resposta
Quando
cresce, a função
se aproxima de 1000 habitantes.
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© , onde
;
©
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, onde
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