integral sen 3 x cos 6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com a matéria de cálculo, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma. A identidade é:
sin(A) cos(B) = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
No nosso caso, e . Vamos substituir esses valores na identidade.

Passo 3

Substituindo sin(3x) cos(6x) = 12 [sin(3x + 6x) + sin(3x - 6x)] = 12 [sin(9x) + sin(-3x)] e 12 [sin(9x) - sin(3x)] na identidade, temos:
Lembrando que , podemos simplificar ainda mais:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin(3x) cos(6x) , dx = 12 integral [sin(9x) - sin(3x)] , dx
Isso significa que vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
Mas como temos o fator fora da integral, devemos multiplicar o resultado por .

Passo 6

Aplicando o fator 12 ( -cos(9x)9 + cos(3x)3 ) + C :
-cos(9x)18 + cos(3x)6 + C
Simplificando as frações:

Resposta

integral sin(3x) cos(6x) , dx = cos(3x)6 - cos(9x)18 + C

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