(Teste T1 - 2017.2) Dada a função f(x) = |x+1| - |x-1| / x, faça o que se pede. Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso envolve conceitos de funções de valor absoluto e análise de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como lidar com as diferentes partes da função, especialmente onde o denominador pode gerar problemas, como pontos em que o x é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos dentro dos valores absolutos: e . O valor absoluto de uma expressão muda dependendo se a expressão dentro dele é positiva ou negativa. Então, precisamos descobrir os pontos onde e , ou seja, onde e . Esses pontos vão dividir nosso estudo em intervalos diferentes.

Passo 3

Vamos dividir a linha dos números em três intervalos baseados nos pontos críticos e :
Em cada intervalo, vamos simplificar a expressão dos valores absolutos de acordo com o sinal de e .

Passo 4

Para :
  • então
  • então
Substituindo na função:

Passo 5

Para :
  • então
  • então
Substituindo na função:
Aqui, desde que , o valor da função é constante igual a 2.

Passo 6

Para :
  • então
  • então
Substituindo na função:

Passo 7

Agora, juntando tudo, temos a função definida por partes:
Além disso, notamos que não está definido na função original, então temos uma assíntota vertical nesse ponto.

Passo 8

Agora, vamos esboçar o gráfico:
  • Para , a função é , que é uma hipérbole no sentido negativo.
  • Para , a função é constante igual a 2, formando uma reta horizontal.
  • Para , a função é , que é uma hipérbole no sentido positivo.
  • Em e , houve mudança nas expressões, mas os valores são continuos nesses pontos.
  • Há uma assíntota vertical em e assíntotas horizontais em conforme tende a infinito.

Resposta

O gráfico de é composto por:
  • Uma hipérbole para .
  • Uma reta horizontal para .
  • Uma hipérbole para .
    Há uma assíntota vertical em e assíntotas horizontais em .

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