(Teste T1 - 2017.2) Dada a função , faça o que se pede. Esboce o gráfico de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso envolve conceitos de funções de valor absoluto e análise de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como lidar com as diferentes partes da função, especialmente onde o denominador pode gerar problemas, como pontos em que o x é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos dentro dos valores absolutos: e . O valor absoluto de uma expressão muda dependendo se a expressão dentro dele é positiva ou negativa. Então, precisamos descobrir os pontos onde e , ou seja, onde e . Esses pontos vão dividir nosso estudo em intervalos diferentes.
Passo 3
Vamos dividir a linha dos números em três intervalos baseados nos pontos críticos e :
Em cada intervalo, vamos simplificar a expressão dos valores absolutos de acordo com o sinal de e .
Passo 4
Para :
então
então
Substituindo na função:
Passo 5
Para :
então
então
Substituindo na função:
Aqui, desde que , o valor da função é constante igual a 2.
Passo 6
Para :
então
então
Substituindo na função:
Passo 7
Agora, juntando tudo, temos a função definida por partes:
Além disso, notamos que não está definido na função original, então temos uma assíntota vertical nesse ponto.
Passo 8
Agora, vamos esboçar o gráfico:
Para , a função é , que é uma hipérbole no sentido negativo.
Para , a função é constante igual a 2, formando uma reta horizontal.
Para , a função é , que é uma hipérbole no sentido positivo.
Em e , houve mudança nas expressões, mas os valores são continuos nesses pontos.
Há uma assíntota vertical em e assíntotas horizontais em conforme tende a infinito.
Resposta
O gráfico de é composto por:
Uma hipérbole para .
Uma reta horizontal para .
Uma hipérbole para .
Há uma assíntota vertical em e assíntotas horizontais em .