(ENEM) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente
proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k * x * (P - x)
onde k é uma constante positiva característica do boato.
Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11000
b) 22000
c) 33000
d) 38000
e) 44000

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a rapidez com que um boato se espalha entre um público-alvo. A rapidez de propagação, representada por , depende de duas coisas: quantas pessoas já conhecem o boato ( ) e quantas ainda não conhecem ( ). A fórmula dada é:
Onde:
  • é a rapidez de propagação.
  • é uma constante positiva.
  • é o público-alvo total, que neste caso é 44.000 pessoas.
Queremos descobrir para qual valor de a rapidez é máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função quadrática em relação a . A forma geral de uma função quadrática é:
No nosso caso, a função é:
Aqui, e .

Passo 3

Para encontrar o valor de que maximiza , precisamos achar o vértice da parábola representada pela função quadrática. O do vértice pode ser encontrado pela fórmula:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, substituímos o valor de que é 44.000 pessoas:

Resposta

A máxima rapidez de propagação ocorre quando o boato é conhecido por 22.000 pessoas. Portanto, a alternativa correta é a b) 22000.

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