The cable of the 1800 kg elevator cab in Fig. 8-54 snaps when the cab is at rest at the first floor, where the cab bottom is a distance d=3.7 m above a spring of spring constant k=0.15 MN / m. A safety device clamps the cab against guide rails so that a constant frictional force of 4.4 kN opposes the cab

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um elevador com uma massa de 1800 kg que está parado no primeiro andar, a uma altura de 3,7 metros acima de uma mola. Essa mola tem uma constante elástica (mega-newtons por metro). De repente, o cabo que segura o elevador quebra, e há um dispositivo de segurança que impede que o elevador caia livremente, aplicando uma força de atrito constante de 4,4 kN contra o movimento. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a compressão máxima da mola devido a essa queda do elevador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no elevador no momento em que o cabo quebra:
  1. Peso do elevador ( ): Essa é a força gravitacional atuando para baixo, calculada por , onde é a massa e é a aceleração da gravidade ( ).
  2. Força de atrito ( ): Essa força atua contra o movimento do elevador, no caso, para cima, com valor de 4,4 kN.
  3. Força da mola ( ): Quando a mola é comprimida, ela exerce uma força restauradora para cima, de acordo com a Lei de Hooke, , onde é a compressão da mola.

Passo 3

Como o elevador está inicialmente em repouso e queremos encontrar a compressão máxima da mola, vamos usar o princípio da conservação de energia. A energia potencial gravitacional do elevador será convertida em energia potencial da mola e em trabalho realizado pela força de atrito.
A energia potencial gravitacional inicial ( Ep = m cdot g cdot d ) é dada por:
Emola = 12 k x^2
onde Wf = Ff cdot x é a distância que o elevador desce até comprimir a mola.
A energia potencial armazenada na mola quando ela está comprimida ( Ep = Emola + Wf ) é:
O trabalho realizado pela força de atrito ( ) é:
Como a energia perdida está sendo usada para comprimir a mola e para vencer o atrito, podemos escrever:

Passo 4

Substituindo as expressões de energia na equação:
m cdot g cdot d = 12 k x^2 + Ff cdot x
Vamos organizar os valores conhecidos:
  • (convertendo mega-newtons para newtons)
  • (convertendo kilo-newtons para newtons)

Passo 5

Vamos substituir os valores na equação:
1800 cdot 9,81 cdot 3,7 = 12 cdot 0,15 times 10^6 cdot x^2 + 4,4 times 10^3 cdot x
Calculando o lado esquerdo:
1800 cdot 9,81 cdot 3,7 approx 1800 cdot 36,297 approx 65.335 , J
Agora temos a equação:
65.335 = 75.000 cdot x^2 + 4.400 cdot x
Vamos reorganizar para formar uma equação quadrática:
75.000 cdot x^2 + 4.400 cdot x - 65.335 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar 75.000 cdot x^2 + 4.400 cdot x - 65.335 = 0 :
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Usando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde:
  • De
  • x = -4.400 pm raiz19.619.8602 cdot 75.000
  • x = -4.400 pm 4.429150.000
Calculando o discriminante ( x = -4.400 + 4.429150.000 ):
x = 0.029150.000
x approx 0,000193 , m
Calculando :
Desprezamos a solução negativa, pois a compressão não pode ser negativa:

Resposta

A compressão máxima da mola é de aproximadamente 0,193 milímetros.

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