The cable of the 1800 kg elevator cab in Fig. 8-54 snaps when the cab is at rest at the first floor, where the cab bottom is a distance
above a spring of spring constant
. A safety device clamps the cab against guide rails so that a constant frictional force of 4.4 kN opposes the cab
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um elevador com uma massa de 1800 kg que está parado no primeiro andar, a uma altura de 3,7 metros acima de uma mola. Essa mola tem uma constante elástica
(mega-newtons por metro). De repente, o cabo que segura o elevador quebra, e há um dispositivo de segurança que impede que o elevador caia livremente, aplicando uma força de atrito constante de 4,4 kN contra o movimento. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a compressão máxima da mola devido a essa queda do elevador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no elevador no momento em que o cabo quebra:
-
Peso do elevador (
): Essa é a força gravitacional atuando para baixo, calculada por , onde é a massa e é a aceleração da gravidade ( ). -
Força de atrito (
): Essa força atua contra o movimento do elevador, no caso, para cima, com valor de 4,4 kN. -
Força da mola (
): Quando a mola é comprimida, ela exerce uma força restauradora para cima, de acordo com a Lei de Hooke, , onde é a compressão da mola.
Passo 3
Como o elevador está inicialmente em repouso e queremos encontrar a compressão máxima da mola, vamos usar o princípio da conservação de energia. A energia potencial gravitacional do elevador será convertida em energia potencial da mola e em trabalho realizado pela força de atrito.
A energia potencial gravitacional inicial (
) é dada por:
onde
é a distância que o elevador desce até comprimir a mola.
A energia potencial armazenada na mola quando ela está comprimida (
) é:
O trabalho realizado pela força de atrito (
) é:
Como a energia perdida está sendo usada para comprimir a mola e para vencer o atrito, podemos escrever:
Passo 4
Substituindo as expressões de energia na equação:
Vamos organizar os valores conhecidos:
-
-
-
-
(convertendo mega-newtons para newtons) -
(convertendo kilo-newtons para newtons)
Passo 5
Vamos substituir os valores na equação:
Calculando o lado esquerdo:
Agora temos a equação:
Vamos reorganizar para formar uma equação quadrática:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante (
):
Calculando
:
Desprezamos a solução negativa, pois a compressão não pode ser negativa:
Resposta
A compressão máxima da mola é de aproximadamente 0,193 milímetros.