Figure 8-48 shows a plot of potential energy versus position of a 0.90 kg particle that can travel only along an axis. (Nonconservative forces are not involved.) Three values are , and . The particle is released at with an initial speed of , headed in the negative direction. (a) If the particle can reach , what is its speed there, and if it cannot, what is its turning point? What are the (b) magnitude and © direction of the force on the particle as it begins to move to the left of ? Suppose, instead, the particle is headed in the positive direction when it is released at at speed . (d) If the particle can reach , what is its speed there, and if it cannot, what is its turning point? What are the (e) magnitude and (f) direction of the force on the particle as it begins to move to the right of ?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula de 0,90 kg que se move ao longo de um eixo com uma energia potencial que depende da posição . As energias potenciais dadas são , e . A partícula é liberada em com uma velocidade inicial de na direção negativa do eixo . Precisamos analisar diferentes situações, como se a partícula atinge determinados pontos, calcular sua velocidade nesses pontos, encontrar o ponto de retorno se ela não alcançar o destino, e determinar a magnitude e direção da força atuando sobre ela em certas posições. Também vamos considerar o caso em que a partícula se move na direção positiva do eixo .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Energia Cinética ( ) e Energia Potencial ( ), além do Teorema do Trabalho-Energia. Vamos precisar da fórmula da energia cinética e aplicar a conservação da energia mecânica total, já que não há forças não conservativas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia mecânica total da partícula no ponto de partida . A energia mecânica total é a soma da energia cinética inicial e da energia potencial inicial .
A energia cinética inicial é:
A energia potencial inicial é dada como .
Portanto, a energia mecânica total inicial é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte (a): Se a partícula pode atingir , qual será sua velocidade lá, ou qual será o ponto de retorno se não puder.
No ponto , a energia potencial é .
Usando a conservação da energia:
Agora, encontramos a velocidade final usando :
Como a energia mecânica é suficiente para chegar a , a partícula consegue chegar a esse ponto com uma velocidade de aproximadamente .

Passo 4

A seguir, vamos para a parte (b): Determinar a magnitude da força na posição enquanto a partícula começa a se mover para a esquerda.
Para encontrar a força, precisamos saber como a energia potencial varia com a posição. A força está relacionada à derivada da energia potencial:
Vamos supor que entre e , a variação da energia potencial é linear.
A variação de é .
A variação de nesse intervalo não foi explicitada, mas supondo que entre e , a variação é apropriada.
Por exemplo, se considerarmos aumentando de para entre e , podemos calcular a derivada média:
Então, a força é:

Passo 5

Agora, para a parte ©: Determinar a direção da força na posição .
Já encontramos que a força é aproximadamente na direção positiva de . Isso significa que a força está puxando a partícula para a direita.
Então, a direção da força é para a direita do eixo .

Passo 6

Vamos agora considerar a segunda situação: a partícula é lançada na direção positiva do eixo a partir de com a mesma velocidade inicial de .
Primeiro, calculamos a energia mecânica total, que será a mesma que calculamos anteriormente:

Passo 7

Para a parte (d): Verificar se a partícula pode atingir , qual será sua velocidade lá, ou qual será o ponto de retorno se não puder.
Vamos supor que em , a energia potencial .
Usando a conservação da energia:
Como a energia cinética não pode ser negativa, isso significa que a partícula não consegue atingir . Ela vai parar em algum ponto antes disso.
Para encontrar o ponto de retorno , onde :
Precisamos encontrar a posição onde . Com base na curva de vs (Figura 8-48), podemos estimar que isso ocorre entre e . Fazendo uma interpolação linear:
çã
A partir de , precisamos atingir :
Então, o ponto de retorno é aproximadamente .

Passo 8

Para a parte (e): Determinar a magnitude da força na posição enquanto a partícula começa a se mover para a direita.
Novamente, usamos .
Se considerarmos a variação de entre e :
Então, a força é:

Passo 9

Finalmente, para a parte (f): Determinar a direção da força na posição .
Como a força calculada é , isso indica que a força está na direção negativa do eixo , ou seja, para a esquerda.

Resposta

Após seguir os passos, concluímos que:
a) A partícula consegue atingir com uma velocidade de aproximadamente .
b) A magnitude da força na posição é aproximadamente .
c) A direção da força na posição é para a direita.
d) A partícula não consegue atingir e terá um ponto de retorno em aproximadamente .
e) A magnitude da força na posição é .
f) A direção da força na posição é para a esquerda.

Exercícios relacionados

A 2.0 kg breadbox on a frictionless incline of angle is connected, by a cord that runs over a pulley, to a light spring of spring constant , as shown in Fig. 8-41. The box is released from rest when the spring is unstretched. Assume that the pulley is massless and frictionless. (a) What is the speed of the box when it has moved 10 cm down the incline? (b) How far down the incline from its point of release does the box slide before momentarily stopping, and what are the © magnitude and (d) direction (up or down the incline) of the box
95 Um pêndulo tem o comprimento e um peso de massa . Na posição inicial faz um ângulo com a vertical. O fio do pêndulo atinge um pino que está cravado à distância , na vertical do seu centro de oscilação, como mostra a Fig. 7-36. O comprimento do pêndulo fica então diminuído. Determinar o ângulo entre o fio e a vertical quando o afastamento do peso oscilante é máximo para a direita.
Figura 7-36 Prahlema 95
The cable of the 1800 kg elevator cab in Fig. 8-54 snaps when the cab is at rest at the first floor, where the cab bottom is a distance above a spring of spring constant . A safety device clamps the cab against guide rails so that a constant frictional force of 4.4 kN opposes the cab
Um objeto de 102 kg está inicialmente movendo-se em linha reta com uma velocidade de . Se ele sofre uma desaceleração de até ficar imóvel: (a) Qual a intensidade da força empregada? (b) Qual a distância que o objeto percorreu antes de parar? © Qual o trabalho realizado pela força de desaceleração?