Figure 8-48 shows a plot of potential energy U versus position x of a 0.90 kg particle that can travel only along an x axis. (Nonconservative forces are not involved.) Three values are UA=15.0 J, UB=35.0 J, and UC=45.0 J. The particle is released at x=4.5 m with an initial speed of 7.0 m / s, headed in the negative x direction. (a) If the particle can reach x=1.0 m, what is its speed there, and if it cannot, what is its turning point? What are the (b) magnitude and © direction of the force on the particle as it begins to move to the left of x=4.0 m? Suppose, instead, the particle is headed in the positive x direction when it is released at x=4.5 m at speed 7.0 m / s. (d) If the particle can reach x=7.0 m, what is its speed there, and if it cannot, what is its turning point? What are the (e) magnitude and (f) direction of the force on the particle as it begins to move to the right of x=5.0 m?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula de 0,90 kg que se move ao longo de um eixo com uma energia potencial que depende da posição . As energias potenciais dadas são , e . A partícula é liberada em com uma velocidade inicial de na direção negativa do eixo . Precisamos analisar diferentes situações, como se a partícula atinge determinados pontos, calcular sua velocidade nesses pontos, encontrar o ponto de retorno se ela não alcançar o destino, e determinar a magnitude e direção da força atuando sobre ela em certas posições. Também vamos considerar o caso em que a partícula se move na direção positiva do eixo .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Energia Cinética ( ) e Energia Potencial ( ), além do Teorema do Trabalho-Energia. Vamos precisar da fórmula da energia cinética e aplicar a conservação da energia mecânica total, já que não há forças não conservativas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia mecânica total da partícula no ponto de partida Ki = 12 m vi^2 = 12 times 0,90 , kg times (7,0 , m/s)^2 = 12 times 0,90 times 49 = 22,05 , J . A energia mecânica total E = Ki + Ui = 22,05 , J + 15,0 , J = 37,05 , J é a soma da energia cinética inicial e da energia potencial inicial .
A energia cinética inicial é:
A energia potencial inicial é dada como .
Portanto, a energia mecânica total inicial é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte (a): Se a partícula pode atingir E = Kf + Uf , qual será sua velocidade lá, ou qual será o ponto de retorno se não puder.
No ponto 37,05 , J = Kf + 35,0 , J , a energia potencial é Kf = 37,05 , J - 35,0 , J = 2,05 , J .
Usando a conservação da energia:
2,05 = 12 times 0,90 times vf^2
vf^2 = 2 times 2,050,90 approx 4,56
vf approx raiz4,56 approx 2,14 , m/s
Agora, encontramos a velocidade final usando :
Como a energia mecânica é suficiente para chegar a , a partícula consegue chegar a esse ponto com uma velocidade de aproximadamente .

Passo 4

A seguir, vamos para a parte (b): Determinar a magnitude da força na posição F(x) = -dUdx enquanto a partícula começa a se mover para a esquerda.
Para encontrar a força, precisamos saber como a energia potencial varia com a posição. A força está relacionada à derivada da energia potencial:
dUdx = UB - UAxB - xA = 35,0 - 15,01,0 - 4,5 = 20,0-3,5 approx -5,71 , J/m
Vamos supor que entre F = -dUdx approx 5,71 , N e , a variação da energia potencial é linear.
A variação de é .
A variação de nesse intervalo não foi explicitada, mas supondo que entre e , a variação é apropriada.
Por exemplo, se considerarmos aumentando de para entre e , podemos calcular a derivada média:
Então, a força é:

Passo 5

Agora, para a parte ©: Determinar a direção da força na posição .
Já encontramos que a força é aproximadamente na direção positiva de . Isso significa que a força está puxando a partícula para a direita.
Então, a direção da força é para a direita do eixo .

Passo 6

Vamos agora considerar a segunda situação: a partícula é lançada na direção positiva do eixo E = 37,05 , J a partir de com a mesma velocidade inicial de .
Primeiro, calculamos a energia mecânica total, que será a mesma que calculamos anteriormente:

Passo 7

Para a parte (d): Verificar se a partícula pode atingir E = Kf + Uf , qual será sua velocidade lá, ou qual será o ponto de retorno se não puder.
Vamos supor que em 37,05 , J = Kf + 45,0 , J , a energia potencial Kf = 37,05 , J - 45,0 , J = -7,95 , J .
Usando a conservação da energia:
E = Ut
37,05 , J = Ut
De
Como a energia cinética não pode ser negativa, isso significa que a partícula não consegue atingir De. Ela vai parar em algum ponto antes disso.
Para encontrar o ponto de retorno Taxa de variação = 10,06,0 approx 1,67 , J/m , onde De:
De
xt = 1,0 , m + 1,23 , m approx 2,23 , m
Precisamos encontrar a posição onde . Com base na curva de vs (Figura 8-48), podemos estimar que isso ocorre entre e . Fazendo uma interpolação linear:
çã
A partir de , precisamos atingir :
Então, o ponto de retorno é aproximadamente .

Passo 8

Para a parte (e): Determinar a magnitude da força na posição dUdx = UC - UAxC - xA = 45,0 - 15,07,0 - 4,5 = 30,02,5 = 12,0 , J/m enquanto a partícula começa a se mover para a direita.
Novamente, usamos F = -dUdx = -12,0 , N .
Se considerarmos a variação de |F| = 12,0 , N entre e :
Então, a força é:

Passo 9

Finalmente, para a parte (f): Determinar a direção da força na posição .
Como a força calculada é , isso indica que a força está na direção negativa do eixo , ou seja, para a esquerda.

Resposta

Após seguir os passos, concluímos que:
a) A partícula consegue atingir com uma velocidade de aproximadamente .
b) A magnitude da força na posição é aproximadamente .
c) A direção da força na posição é para a direita.
d) A partícula não consegue atingir e terá um ponto de retorno em aproximadamente .
e) A magnitude da força na posição é .
f) A direção da força na posição é para a esquerda.

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