Figure 8-48 shows a plot of potential energy
versus position
of a 0.90 kg particle that can travel only along an
axis. (Nonconservative forces are not involved.) Three values are
, and
. The particle is released at
with an initial speed of
, headed in the negative
direction. (a) If the particle can reach
, what is its speed there, and if it cannot, what is its turning point? What are the (b) magnitude and © direction of the force on the particle as it begins to move to the left of
? Suppose, instead, the particle is headed in the positive
direction when it is released at
at speed
. (d) If the particle can reach
, what is its speed there, and if it cannot, what is its turning point? What are the (e) magnitude and (f) direction of the force on the particle as it begins to move to the right of
?
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula de 0,90 kg que se move ao longo de um eixo
com uma energia potencial
que depende da posição
. As energias potenciais dadas são
,
e
. A partícula é liberada em
com uma velocidade inicial de
na direção negativa do eixo
. Precisamos analisar diferentes situações, como se a partícula atinge determinados pontos, calcular sua velocidade nesses pontos, encontrar o ponto de retorno se ela não alcançar o destino, e determinar a magnitude e direção da força atuando sobre ela em certas posições. Também vamos considerar o caso em que a partícula se move na direção positiva do eixo
.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Energia Cinética (
) e Energia Potencial (
), além do Teorema do Trabalho-Energia. Vamos precisar da fórmula da energia cinética
e aplicar a conservação da energia mecânica total, já que não há forças não conservativas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia mecânica total da partícula no ponto de partida
. A energia mecânica total
é a soma da energia cinética inicial
e da energia potencial inicial
.
A energia cinética inicial é:
A energia potencial inicial é dada como
.
Portanto, a energia mecânica total inicial é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte (a): Se a partícula pode atingir
, qual será sua velocidade lá, ou qual será o ponto de retorno se não puder.
No ponto
, a energia potencial é
.
Usando a conservação da energia:
Agora, encontramos a velocidade final
usando
:
Como a energia mecânica é suficiente para chegar a
, a partícula consegue chegar a esse ponto com uma velocidade de aproximadamente
.
Passo 4
A seguir, vamos para a parte (b): Determinar a magnitude da força na posição
enquanto a partícula começa a se mover para a esquerda.
Para encontrar a força, precisamos saber como a energia potencial varia com a posição. A força está relacionada à derivada da energia potencial:
Vamos supor que entre
e
, a variação da energia potencial é linear.
A variação de
é
.
A variação de
nesse intervalo não foi explicitada, mas supondo que entre
e
, a variação é apropriada.
Por exemplo, se considerarmos
aumentando de
para
entre
e
, podemos calcular a derivada média:
Então, a força é:
Passo 5
Agora, para a parte ©: Determinar a direção da força na posição
.
Já encontramos que a força é aproximadamente
na direção positiva de
. Isso significa que a força está puxando a partícula para a direita.
Então, a direção da força é para a direita do eixo
.
Passo 6
Vamos agora considerar a segunda situação: a partícula é lançada na direção positiva do eixo
a partir de
com a mesma velocidade inicial de
.
Primeiro, calculamos a energia mecânica total, que será a mesma que calculamos anteriormente:
Passo 7
Para a parte (d): Verificar se a partícula pode atingir
, qual será sua velocidade lá, ou qual será o ponto de retorno se não puder.
Vamos supor que em
, a energia potencial
.
Usando a conservação da energia:
Como a energia cinética não pode ser negativa, isso significa que a partícula não consegue atingir
. Ela vai parar em algum ponto antes disso.
Para encontrar o ponto de retorno
, onde
:
Precisamos encontrar a posição
onde
. Com base na curva de
vs
(Figura 8-48), podemos estimar que isso ocorre entre
e
. Fazendo uma interpolação linear:
A partir de
, precisamos atingir
:
Então, o ponto de retorno é aproximadamente
.
Passo 8
Para a parte (e): Determinar a magnitude da força na posição
enquanto a partícula começa a se mover para a direita.
Novamente, usamos
.
Se considerarmos a variação de
entre
e
:
Então, a força é:
Passo 9
Finalmente, para a parte (f): Determinar a direção da força na posição
.
Como a força calculada é
, isso indica que a força está na direção negativa do eixo
, ou seja, para a esquerda.
Resposta
Após seguir os passos, concluímos que:
a) A partícula consegue atingir
com uma velocidade de aproximadamente
.
b) A magnitude da força na posição
é aproximadamente
.
c) A direção da força na posição
é para a direita.
d) A partícula não consegue atingir
e terá um ponto de retorno em aproximadamente
.
e) A magnitude da força na posição
é
.
f) A direção da força na posição
é para a esquerda.
Exercícios relacionados
A 2.0 kg breadbox on a frictionless incline of angle
is connected, by a cord that runs over a pulley, to a light spring of spring constant
, as shown in Fig. 8-41. The box is released from rest when the spring is unstretched. Assume that the pulley is massless and frictionless. (a) What is the speed of the box when it has moved 10 cm down the incline? (b) How far down the incline from its point of release does the box slide before momentarily stopping, and what are the © magnitude and (d) direction (up or down the incline) of the box
95 Um pêndulo tem o comprimento
e um peso de massa
. Na posição inicial faz um ângulo
com a vertical. O fio do pêndulo atinge um pino que está cravado à distância
, na vertical do seu centro de oscilação, como mostra a Fig. 7-36. O comprimento do pêndulo fica então diminuído. Determinar o ângulo
entre o fio e a vertical quando o afastamento do peso oscilante é máximo para a direita.
Figura 7-36 Prahlema 95
Figura 7-36 Prahlema 95
The cable of the 1800 kg elevator cab in Fig. 8-54 snaps when the cab is at rest at the first floor, where the cab bottom is a distance
above a spring of spring constant
. A safety device clamps the cab against guide rails so that a constant frictional force of 4.4 kN opposes the cab
Um objeto de 102 kg está inicialmente movendo-se em linha reta com uma velocidade de
. Se ele sofre uma desaceleração de
até ficar imóvel: (a) Qual a intensidade da força empregada? (b) Qual a distância que o objeto percorreu antes de parar? © Qual o trabalho realizado pela força de desaceleração?