A 2.0 kg breadbox on a frictionless incline of angle is connected, by a cord that runs over a pulley, to a light spring of spring constant , as shown in Fig. 8-41. The box is released from rest when the spring is unstretched. Assume that the pulley is massless and frictionless. (a) What is the speed of the box when it has moved 10 cm down the incline? (b) How far down the incline from its point of release does the box slide before momentarily stopping, and what are the © magnitude and (d) direction (up or down the incline) of the box

Passo 1

Beleza, vamos ver o que temos aqui! O exercício envolve uma caixa de pão de 2,0 kg deslizando por uma rampa sem atrito, inclinada a 40 graus. Essa caixa está ligada por um fio que passa por uma polia a uma mola leve com constante elástica . Quando a caixa é solta, a mola não está esticada. Vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, como energia potencial e cinética, além das leis de conservação de energia para resolver as partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): Qual é a velocidade da caixa quando ela se moveu 10 cm descendo a rampa?
Vamos usar o princípio da conservação de energia. Inicialmente, a caixa está em repouso, então sua energia cinética é zero. Conforme ela desce, a energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética e energia potencial da mola.
A energia total no início é a energia potencial gravitacional:
Onde:
  • (massa da caixa)
  • (aceleração da gravidade)
  • é a altura que a caixa desce, relacionada ao deslocamento , e ao ângulo .
A altura pode ser encontrada por:
Substituindo e :
Calculando :
Então:
Agora, a energia potencial gravitacional inicial:
Ao descer 10 cm, a caixa ganha energia cinética e a mola é comprimida, armazenando energia potencial elástica. Então, a energia final é:
Onde:
  • é a velocidade da caixa
  • (comprimento da mola comprimida)
Pela conservação de energia:
Então:
Substituindo os valores:
Calculando a energia potencial da mola:
Então:
Isolando :
Então:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Quão longe a caixa desliza descendo a rampa antes de parar momentaneamente?
Aqui, a caixa vai subir até que toda a sua energia cinética seja convertida novamente em energia potencial gravitacional e potencial da mola. Quando a caixa para momentaneamente, sua velocidade é zero, então a energia cinética é zero, e toda a energia será armazenada como energia potencial.
Usando novamente a conservação de energia, a energia quando a caixa se moveu 10 cm foi de 1,259 J. Vamos chamar a distância adicional que a caixa sobe de .
A energia total no ponto mais alto será:
Onde:
Igualando as energias:
Mas como a mola já estava comprimida em 10 cm, precisamos considerar que à medida que a caixa sobe, a mola retorna ao seu estado não comprimido, então a energia potencial da mola adicionada à energia potencial gravitacional.
Para simplificar, assumiremos que a mola não está esticada além dos 10 cm iniciais, então:
Isolando :
Portanto, a caixa desliza 10 cm adicionalmente antes de parar. Então, a distância total desde o ponto de liberação é de 10 cm (descida) + 10 cm (subida) = 20 cm.

Passo 4

Agora, para a parte ©: Qual é a magnitude da força exercida na caixa quando ela está no ponto de parada?
No ponto de parada, a força resultante na caixa é igual à força da mola e à componente do peso na direção da rampa. A força da mola é:
Com e :
A componente do peso na direção da rampa é:
Então, a força total na caixa no ponto de parada é:

Passo 5

Finalmente, para a parte (d): Qual é a direção dessa força na rampa?
A força da mola está atuando contra o movimento da caixa, ou seja, para cima na rampa. A componente do peso também atua para baixo na rampa, ajudando no movimento descendente. No ponto de parada, a força resultante está equilibrando o movimento, mas a direção geral da força exercida é para baixo na rampa, já que a mola está empurrando para cima, mas a componente do peso é maior.

Resposta

(a) A velocidade da caixa após mover 10 cm na rampa é aproximadamente .
(b) A caixa desliza até 20 cm desde o ponto de liberação antes de parar momentaneamente.
© A magnitude da força na caixa no ponto de parada é .
(d) A direção dessa força é para baixo na rampa.

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