The length of the mercury column in the old-fashioned mercury-in-glass thermometer is 15.00 cm when the thermometer is in contact with water at its triple point. Consider the length of the mercury column as the thermometric property X and let theta be the empirical temperature determined by this thermometer.
Calculate the empirical temperature when the length of the mercury column is 19.00 cm .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos um termômetro antigo de mercúrio onde a coluna de mercúrio mede 15,00 cm quando está em contato com água no seu ponto triplo. A propriedade termométrica que estamos analisando é o comprimento da coluna de mercúrio, que vamos chamar de . Queremos descobrir qual é a temperatura empírica ( ) quando essa coluna mede 19,00 cm. Para resolver isso, vamos usar o conceito de escala linear, onde há uma relação direta entre o comprimento da coluna de mercúrio e a temperatura.

Passo 2

Vamos assumir que a relação entre o comprimento da coluna de mercúrio ( theta = aX + b ) e a temperatura empírica ( ) é linear. Isso significa que podemos escrever uma equação na forma:
onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Sabemos que quando 0 = a times 15,00 + b cm, a temperatura está no ponto triplo da água. No ponto triplo da água, a temperatura é definida como 0,01°C, mas como estamos trabalhando com temperatura empírica ( ), vamos considerar nesse ponto para simplificar.
Então, temos:
Isso nos dá a primeira equação para encontrar e .

Passo 4

Precisamos de outra condição para determinar as constantes -10 = a times 10,00 + b e 0 = 15a + b -10 = 10a + b . Vamos supor que quando a coluna de mercúrio está no ponto de congelamento da água (por exemplo, cm), a temperatura empírica é . Usando isso na equação:
Agora temos um sistema de duas equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Subtraindo a segunda equação da primeira:
0 - (-10) = (15a + b) - (10a + b) 10 = 5a a = 2
Agora, substituindo 0 = 15 times 2 + b 0 = 30 + b b = -30 na primeira equação:
theta = 2X - 30
Então, nossa equação fica:

Passo 6

Agora, queremos encontrar a temperatura theta = 2 times 19,00 - 30 theta = 38 - 30 theta = 8 quando cm. Substituindo na equação:

Resposta

A temperatura empírica quando a coluna de mercúrio mede 19,00 cm é de 8°C.

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