Mostre que em coordenadas esféricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial que pede para mostrar como calcular a divergência de um campo vetorial
usando coordenadas esféricas. Então, vamos precisar entender o que é divergência, como funciona em coordenadas esféricas e usar algumas regras de derivadas parciais para chegar na expressão final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por
, mede o quanto o campo
está “saindo” ou “entrando” de um ponto. Em coordenadas cartesianas, temos uma fórmula padrão para isso, mas nosso desafio é fazer isso em coordenadas esféricas.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o ponto no espaço é descrito por três coordenadas:
(distância ao origem),
(ângulo polar) e
(ângulo azimutal). O vetor campo
pode ser escrito nessas coordenadas como:
Aqui,
,
e
são as componentes do campo nas direções radial, polar e azimutal, respectivamente.
Passo 4
A divergência em coordenadas esféricas envolve levar em conta como as componentes do vetor mudam com cada uma das coordenadas. Para isso, usamos a fórmula geral da divergência em coordenadas curvilíneas, que inclui fatores de escala.
Passo 5
Aplicando a fórmula geral da divergência em coordenadas esféricas, temos:
Cada termo corresponde à variação do campo em cada uma das direções coordenadas, ajustado pelos fatores de escala que aparecem naturalmente nas coordenadas esféricas.
Resposta
Portanto, mostramos que em coordenadas esféricas a divergência do campo vetorial
é dada por: