Mostre que em coordenadas esféricas
nabla cdot F=1r^2 partial(r^2 Fr)partial r+1r sin theta partial(sin theta Ftheta)partial theta+1r sin theta partial Fvarphipartial varphi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial que pede para mostrar como calcular a divergência de um campo vetorial F usando coordenadas esféricas. Então, vamos precisar entender o que é divergência, como funciona em coordenadas esféricas e usar algumas regras de derivadas parciais para chegar na expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por nabla cdot F, mede o quanto o campo F está “saindo” ou “entrando” de um ponto. Em coordenadas cartesianas, temos uma fórmula padrão para isso, mas nosso desafio é fazer isso em coordenadas esféricas.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o ponto no espaço é descrito por três coordenadas: r (distância ao origem), theta (ângulo polar) e varphi (ângulo azimutal). O vetor campo F pode ser escrito nessas coordenadas como:
F = Fr er + Ftheta etheta + Fvarphi evarphi
Aqui, Fr, Ftheta e Fvarphi são as componentes do campo nas direções radial, polar e azimutal, respectivamente.

Passo 4

A divergência em coordenadas esféricas envolve levar em conta como as componentes do vetor mudam com cada uma das coordenadas. Para isso, usamos a fórmula geral da divergência em coordenadas curvilíneas, que inclui fatores de escala.

Passo 5

Aplicando a fórmula geral da divergência em coordenadas esféricas, temos:
nabla cdot F = 1r^2 partialpartial r(r^2 Fr) + 1r sin theta partialpartial theta(sin theta Ftheta) + 1r sin theta partial Fvarphipartial varphi
Cada termo corresponde à variação do campo em cada uma das direções coordenadas, ajustado pelos fatores de escala que aparecem naturalmente nas coordenadas esféricas.

Resposta

Portanto, mostramos que em coordenadas esféricas a divergência do campo vetorial F é dada por:
nabla cdot F = 1r^2 partial(r^2 Fr)partial r + 1r sin theta partial(sin theta Ftheta)partial theta + 1r sin theta partial Fvarphipartial varphi

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