When the ice point
and the steam point
were chosen as fixed points with 100 degrees between them in the original Celsius scale, the ideal-gas temperature of the ice point was written
where
at constant
.
Any ideal-gas temperature may be written
where
at constant
. Show that the fractional error in
is
Any ideal-gas temperature may be written
Passo 1
Vamos resolver um exercício de termodinâmica que envolve análise de erros em temperaturas de gases ideais. Precisamos mostrar como o erro na temperatura
está relacionado aos erros nos parâmetros
e
. Para isso, vamos usar conceitos de propagação de erros e as fórmulas fornecidas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fórmulas que temos. A temperatura do ponto de gelo
é dada por:
Aqui,
é a razão dos pressões no ponto de vapor
e no ponto de gelo
à volume constante. Além disso, qualquer temperatura de gás ideal pode ser expressa como:
onde
é a razão
também à volume constante.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a relação entre os erros relativos
,
e
. Para isso, vamos aplicar a regra de propagação de erros para funções que dependem de múltiplas variáveis.
Passo 4
Primeiro, derivamos a expressão de
em relação a
:
Isso nos mostra como um pequeno erro em
afeta
.
Passo 5
Agora, consideramos a expressão para
:
Derivando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Dividindo ambos os lados por
, temos o erro relativo:
Passo 6
Entretanto, precisamos relacionar isso com
. Observamos que
afeta
, e
está relacionada a
. Substituindo
na equação de
, podemos propagar os erros combinando os efeitos de
e
.
Passo 7
Após simplificações e considerando as relações entre as derivadas, chegamos à expressão final que relaciona os erros relativos:
Resposta
A fração do erro em
é dada por: