The resistance of a platinum wire is found to be 11.000 Omega at the ice point, 15.247 Omega at the steam point, and 28.887 Omega at the sulfur point. Find the constants a and b in the equation
R^prime=R0^prime(1+a theta+b theta^2)
and plot R^prime against Celsius temperature theta in the range from 0 to 660^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar as constantes e na equação que relaciona a resistência com a temperatura em Celsius ( ). O conteúdo aqui envolve leis de variação da resistência com a temperatura e sistemas de equações. Para resolver isso, vamos precisar usar os três pontos de resistência fornecidos e montar um sistema de equações para achar e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
R' = R0' (1 + a theta + b theta^2)
Aqui, é a resistência em uma temperatura , e é a resistência na temperatura zero Celsius (ponto de gelo).

Passo 3

Sabemos que no ponto de gelo ( 11.000 = R0' (1 + a cdot 0 + b cdot 0^2) 11.000 = R0' ), a resistência . Vamos usar isso para encontrar :
Então, .

Passo 4

Agora, temos dois outros pontos:
  1. Ponto de vapor ( , supondo) com .
  2. Ponto de enxofre ( , supondo) com .
Vamos substituir esses valores na equação para formar um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 5

Para o ponto de vapor:
15.247 = 11.000 (1 + a cdot 100 + b cdot 100^2) Rightarrow 1 + 100a + 10000b = 15.24711.000 1 + 100a + 10000b = 1.38518
Para o ponto de enxofre:
28.887 = 11.000 (1 + a cdot 160 + b cdot 160^2) Rightarrow 1 + 160a + 25600b = 28.88711.000 1 + 160a + 25600b = 2.62609

Passo 6

Agora, temos o sistema:
1 + 100a + 10000b = 1.38518 1 + 160a + 25600b = 2.62609
Vamos simplificar subtraindo 1 de ambos os lados:
100a + 10000b = 0.38518 160a + 25600b = 1.62609

Passo 7

Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou eliminação. Vamos multiplicar a primeira equação por 1.6 para facilitar a eliminação de 160a + 16000b = 0.61629 160a + 25600b = 1.62609 :
(160a + 25600b) - (160a + 16000b) = 1.62609 - 0.61629 9600b = 1.0098 b = 1.00989600 b approx 0.0001052
Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 8

Agora que temos 100a + 10000 cdot 0.0001052 = 0.38518 100a + 1.052 = 0.38518 100a = 0.38518 - 1.052 100a = -0.66682 a = -0.66682100 a approx -0.0066682 , vamos substituí-lo na primeira equação simplificada para encontrar :

Passo 9

Pronto! Encontramos os valores das constantes:
a approx -0.0066682 b approx 0.0001052

Resposta

As constantes são aproximadamente R' = 11.000 (1 - 0.0066682 theta + 0.0001052 theta^2) e . Com esses valores, a equação que relaciona a resistência com a temperatura em Celsius fica:
E o gráfico de contra no intervalo de a pode ser plotado utilizando essa equação.

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