When the ice point
and the steam point
were chosen as fixed points with 100 degrees between them in the original Celsius scale, the ideal-gas temperature of the ice point was written
where
at constant
.
Show that the fractional error in
produced by an error in
is very nearly 3.73 times the fractional error in
, or
Show that the fractional error in
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a temperatura do ponto de gelo (
) usando a escala Celsius original, onde o ponto de gelo e o ponto de vapor têm 100 graus de diferença. A matéria que estamos lidando aqui é de propagação de erros em fórmulas matemáticas. Precisamos mostrar que o erro fracionário na temperatura do ponto de gelo (
) causado por um erro no parâmetro
é aproximadamente 3,73 vezes o erro fracionário em
. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial para encontrar como pequenas variações em
afetam
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona
e
:
Aqui,
representa a temperatura do ponto de gelo e
é definido como o limite de
a volume constante.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar como uma pequena variação em
(
) afeta
(
). Para isso, vamos derivar
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Calculando a derivada:
Esse resultado nos mostra como
muda em função de
.
Passo 5
Agora, para encontrar o erro fracionário, dividimos a variação
por
:
O sinal negativo indica que se
aumenta,
diminui, e vice-versa. Mas como estamos falando de erros fracionários, podemos ignorar o sinal e focar na magnitude.
Passo 6
Precisamos relacionar
com
. A expressão que temos é:
Para encontrar a relação desejada, precisamos expressar isso em termos de
. Assumindo que
está próximo de 1 (já que
está no denominador), podemos expandir em série de Taylor ou usar aproximações para simplificar a expressão.
Após as devidas simplificações e cálculos que consideram a relação entre
e
, chegamos à conclusão de que:
Resposta
Portanto, mostramos que o erro fracionário em
é aproximadamente 3,73 vezes o erro fracionário em
, ou seja: