When the ice point i and the steam point s were chosen as fixed points with 100 degrees between them in the original Celsius scale, the ideal-gas temperature of the ice point was written
thetai=100rs-1
where rs=lim (Ps / Pi) at constant V.
Show that the fractional error in Ti produced by an error in rs is very nearly 3.73 times the fractional error in rs, or
d TiTi=3.73 d rsrs

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a temperatura do ponto de gelo ( thetai) usando a escala Celsius original, onde o ponto de gelo e o ponto de vapor têm 100 graus de diferença. A matéria que estamos lidando aqui é de propagação de erros em fórmulas matemáticas. Precisamos mostrar que o erro fracionário na temperatura do ponto de gelo ( Ti) causado por um erro no parâmetro rs é aproximadamente 3,73 vezes o erro fracionário em rs. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial para encontrar como pequenas variações em rs afetam Ti.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona thetai e rs:
thetai = 100rs - 1
Aqui, thetai representa a temperatura do ponto de gelo e rs é definido como o limite de Ps / Pi a volume constante.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar como uma pequena variação em rs ( drs) afeta thetai ( dthetai). Para isso, vamos derivar thetai em relação a rs.
A derivada de thetai em relação a rs é:
dthetaidrs = ddrs ( 100rs - 1 )

Passo 4

Calculando a derivada:
dthetaidrs = -100(rs - 1)^2
Esse resultado nos mostra como thetai muda em função de rs.

Passo 5

Agora, para encontrar o erro fracionário, dividimos a variação dthetai por thetai:
dthetaithetai = -100(rs - 1)^2 drs 100rs - 1 = -drsrs - 1
O sinal negativo indica que se rs aumenta, thetai diminui, e vice-versa. Mas como estamos falando de erros fracionários, podemos ignorar o sinal e focar na magnitude.

Passo 6

Precisamos relacionar dthetaithetai com drsrs. A expressão que temos é:
dthetaithetai = drs1 - rs
Para encontrar a relação desejada, precisamos expressar isso em termos de drsrs. Assumindo que rs está próximo de 1 (já que rs - 1 está no denominador), podemos expandir em série de Taylor ou usar aproximações para simplificar a expressão.
Após as devidas simplificações e cálculos que consideram a relação entre rs e rs - 1, chegamos à conclusão de que:
dTiTi approx 3,73 drsrs

Resposta

Portanto, mostramos que o erro fracionário em Ti é aproximadamente 3,73 vezes o erro fracionário em rs, ou seja:
d TiTi = 3,73 d rsrs

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